Урок по теме бесконечная геометрическая прогрессия. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. В. Технические средства обучения
«Основные тригонометрические функции» - Свойства функции. Свойства функции y=sin x. Положительный период. Тригонометрические функции. Значения х. Определение четности и нечетности функции. Математическая модель. Множество значений тригонометрических функций. Промежутки. Истинное высказывание. Область определения функции. Контрольная работа. Область определения. Найдите область определения. Значение. Периодичность. Область значений. Задайте с помощью формулы функцию.
Геометрический ряд представляет собой последовательность чисел, где каждое число является предыдущим, умноженное на константу, общее отношение. Эти геометрические серии продолжаются вечно, но в большинстве случаев нас интересует только поиск суммы начальной части ряда.
Например, скажите, что вы хотели рассказать об этой огромной вечеринке в бассейне, которую у вас есть в доме вашей мечты у океана. Вы отправляете приглашение на вечеринку пяти своим друзьям. Затем вы спрашиваете этих пяти друзей, чтобы они отправили приглашение еще пяти людям.
«Уравнения» - Решение. Появление буквенной символики. Аналитический способ. Математика в Древнем Египте. Что такое уравнение. Способы решения уравнений. Биология. Графический способ. Физика. Немного истории. Неизвестное число. Где используются уравнения сегодня. Химия. Алгебра. Математика в Древней Индии. Экономика. Уравнения вокруг нас. Появление символа равенства. Арифметика Диофанта. Геометрия. Математика исламского средневековья.
Нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Теперь у 25 новых людей будет приглашение. Если эти 25 человек отправят приглашение еще пяти людям, ваше приглашение достигнет 125 новых людей. Вы можете видеть, что вам нужно всего лишь добавить первые несколько номеров, чтобы получить действительно большое количество для вашей вечеринки в пуле.
Иногда, однако, вы хотите увидеть, какие цифры вы получаете, когда добавляете бесконечную серию. Например, скажите, что у вас есть пирог, и вы нарезаете свой пирог пополам. Вы берете один из этих кусочков и разрезаете его пополам. Представьте, что вы делаете это бесконечно много раз. Теперь вы хотите добавить свои кусочки пирога, чтобы посмотреть, сколько у вас пирога.
«Деление многочлена на многочлен» - Теорема Безу. Деление по схеме Горнера. Остаток от деления. Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(х). Свойства делимости многочленов «столбиком». Многочлены Рn(х) и Qn(x). Разложение Р(х) по степеням разности. Степень частного. Разделить уголком многочлен. Алгоритм вычислений по схеме Горнера. Свойство. Алгоритм деления многочленов «столбиком». Корень Q(x). Что такое многочлен. Определение. Выражение п-3 является целым числом.
Это сумма, о которой мы поговорим в этом видеоуроке. Если ваше общее соотношение меньше 1 или больше, чем -1, но не 0, вы можете использовать эту формулу для вычисления суммы для своей бесконечной геометрической серии. Давайте попробуем использовать эту формулу с нашим примером пирога. С нашим первым разрезом мы отложим половину нашего пирога.
Определение геометрической прогрессии
Давайте посмотрим, какой ответ мы получим. Добавление всех наших ломтиков, начиная с нашего половинного ломтика, дает нам целый пирог. Это имеет смысл, поскольку мы просто разрезаем наш один пирог на очень мелкие кусочки. Посмотрите, можете ли вы рассчитать его сами, когда мы идем. Поскольку наше общее соотношение между -1 и 1 и не равно 0, мы можем использовать нашу формулу.
«Тригонометрические неравенства» - Решите уравнение. Алгоритм решения. Cos x
«Графики функций с модулями» - Графики функций надо обязательно уметь строить. Квадратичная функция. Графики функций. Подготовка к ЕГЭ. Функция с модулем. Найдём вершину функции. Сложная функция. Парабола. Графики функций с модулями. Кубическая функция. График функции. Отрицательная сторона.
«Тест «Функции и их свойства»» - Групповое задание командам. Задания командам. Звезда для капитана. Тестирование. Укажите график четной функции. Укажите все нули функции. График какой функции изображен на рисунке. Множество значений функции. Найдите наименьший положительный период функции. Найдите промежутки возрастания функции, заданной графически. Свойства функций. Портрет. Звездная эстафета. На каком из рисунков изображен график нечетной функции.
Дата: 24.12.2012 Алгебра 9 рус
Тема урока: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Цели и задачи урока: Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.
Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь;
Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.
План урока.
Организационный момент.
Немного истории.
Теоретический опрос.
Решение задач.
Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.
Домашнее задание.
Ход урока.
Организационный момент.
Немного истории.
В клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным. Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.
Теоретический опрос .
Задание. Записать номер формулы.
Определение арифметической прогрессии.
Формулу суммы n -первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.
Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Формулу суммы n -первых членов геометрической прогрессии.
Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.
Формулу свойства членов геометрической прогрессии.
Формулу суммы n -первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.
Общую формулу для вычисления знаменателя геометрической прогрессии.
Определение геометрической прогрессии.
Формулу n -го члена геометрическую прогрессии.
Формулу свойства членов арифметической прогрессии.
Формулу n -го члена арифметической прогрессии.
6) 11)
12)
Проверить код ответов ( 1, 6, 12, 11, 2,0.
Расшифровать полученные числа, как день16.12.11. 20-летия Независимости Казахстана.
Решение комбинированных задач .
Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют геометрическую
прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 - арифметическую прогрессию с
разностью 6. Найти данные числа.
Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия{ а, в, с} и q = 2,
арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.
Найти: а, в, с, е.
Решение:
| а | в | с | е | |
| Геометр. прогрессия | а
| а q = 2а | а q 2 = 4а | -
|
| Арифмет. прогрессия | -
| в
| в + d = в + 6 | в + 2 d = в + 12 |
По таблице видно, что 2а = в и 4а = в + 6.
Имеем 4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2
Ответ: 3, 6, 12, 18.
Сумма трёх чисел, образующих арифмет. прогрессию, равна 27.
Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут
образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.
Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет. прогрессия { а, в, с},
геометр. прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.
Найти: а, в, с.
| а | в | с | |
| Арифмет. прогрессия | а
| в = а
+ d | с = а + 2
d
|
| Геометр. прогрессия | а - 1
| (а + d ) – 3 | а + 2
d
– 2 |
По данным составим таблицу.
По условию сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27, 3а + 3d = 27, а + d = 9 (1).
По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d .
Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:
(а + d – 3) 2 = (а – 1)(а + 2d – 2), (9 – 3) 2 = (а – 1)(а + d + d – 2), 6 2 = (а – 1)(7 + d ) (2)
Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.
d 2 – d – 20 = 0
По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения:
Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13, в = 9, с = 9 – 4 = 5.
2) а = 9 – 5 = 4, в = 9, с = 9 + 5 = 14.
Ответ: 13, 9, 4 или 4, 9, 14.
Даны 4 числа, составляющих геометрическую прогрессию. Если от
этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут
образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.
Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия { а, в, с, е},
арифмет. прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.
Найти: а, в, с, е. Решение:По данным составим таблицу.
| а | в | с | е | |
| Геометр. прогрессия | а
| а
q
| а
q
2 | а
q
3 |
| Арифмет. прогрессия | а – 10
| в – 11 = а
q
– 11 | с – 9 = а
q
2 – 9 | е – 1 = а
q
3 – 1 |
По таблице используем данные и применим свойство арифметической прогрессии 1) , 2а q – 22 = a + аq 2 – 19, аq 2 - 2аq + a = – 3,
a(q 2 - 2q + 1) = – 3, a(q – 1) 2 = – 3 (1).
2) , 2аq 2 – 18 = aq + аq 3 – 12, аq 3 - 2аq 2 + aq = – 6,
aq (q 2 - 2q + 1) = – 6, aq (q – 1) 2 = – 6 (2 ).
После сокращения дробей получим q = 2.
Найдём значение а из равенства (1) а = – 3.
Вычислим остальные числа: в = – 3 · 2 = – 6, с = – 6 ·2 = – 12, е = – 12 · 2 = –24.
Ответ: – 3, – 6, – 12, – 24.
Даны 3 различных числа, составляющих геометрическую
прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой
последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность
была арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной
геометрической прогрессии.
Дано: а, в, с – искомые числа, геометрическая прогрессия { а, в, с},
арифметическая прогрессия { а, в, х, с}.
Найти: q
Решение: Так как по условию 3 различных числа, составляющих геометрическую прогрессию , то q для арифметической прогрессии d
| а | в | х | с | |
| Геометр. прогрессия | а
| а
q
| - | а
q
2 |
| Арифмет. прогрессия | а
| а +
d
| а + 2
d
| а + 3
d
|
По таблице видно, что 1) а q = а + d, d = аq – а, d = а(q – 1) (1)
2) а q 2 = а + 3d, 3d = аq 2 – а, 3 d = а(q 2 – 1) (2)
Подставим равенство (1) в равенство (2) 3а(q – 1) = а(q 2 – 1).
Разделим полученное равенство на а(q – 1) , получим 3 = q + 1, q = 2. Ответ: 2.
Решение. 1) Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; - 1;…
Заметим, что 3 – 7 = – 4, – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они образуют арифметическую прогрессию с d = – 4 и а 1 = 7.
По формуле суммы n -первых членов арифметической прогрессии найдём сумму 6 членов:
Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…
Заметим, что 4: 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую прогрессию с
Решение.
Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: - 21; - 15; - 9;…
Заметим, что – 21 – (– 15) = – 15 – (– 9) = 6, раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую прогрессию с d = 6 и а 1 = – 21.
По формуле суммы n -первых членов арифмет. прогрессии найдём сумму 8 членов:
Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…
Заметим, что 1: 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с q
Ответ:
Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.
Домашнее задание.
Три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)
Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)
Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30)