Пример ограниченной последовательности не имеющей предела. Свойства, связанные с неравенствами. Арифметические действия с пределами
Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
К сожалению, и совершенно неожиданным образом бизнес рухнул почти на целый день. Какой бы автомобиль, состоящий из начальных аксиом, не был выбран, каковы правила, используемые для манипулирования рассматриваемыми математическими символами, когда система достаточно велика для включения арифметики, должно существовать хотя бы одно предложение, которое может быть сформулировано в этом символический язык, и чья истинность или ложность не может быть определена с помощью этих аксиом и эти правила. математическая истина это то, что выходит за рамки правил и аксиом. попытка решить эту проблему путем добавления нового правила или новую аксиому не он создает новое необъявленное суждение: сумасшедшее дерьмо: программа Гильберта не может работать.
Последовательности
Числовой последовательностью
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
Элемент называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.
ограниченной , если существует такое число M , что для всех действительных n .
Если вы хотите получить полное представление о математической системе, вы должны выйти из нее. Гёдель пришел на эту демонстрацию, используя новую и сложную версию старой идеи Лейбница. Он разработал недвусмысленный метод связывания чисел с предложениями, так что каждое предложение математический план был однозначно представлен числом, и наоборот, для каждого номера можно было найти соответствующее предложение. Было проведено тщательное различие между математическими и мета-математическими утверждениями.
Например, «2 2 = 4» является математическим предложением, а «2 2 = 5 ложным» является мета-математическим предложением. Через процесс присвоения числа Гёделя молодой австрийский математик установил прямое соответствие между арифметикой и предложениями по арифметике. Поэтому Гёдель использовал существование известных логических парадоксов в логике, чтобы продемонстрировать неразрешимость арифметики, используя взаимно однозначное соответствие между математикой и метаматематикой, полученное нумерацией Геделя.
Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′ : .
Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′ : .
Исследовательский проект Гильберта, а вместе с ним и надежды на непреодолимую математику в официальной рубашке силы, потерпел неудачу. Системы аксиом достаточно богатых, чтобы включать «арифметику обязательно незавершенным, что означает, что есть предложения от» арифметики, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты с помощью аксиом и правил арифметики вычетов.
Затем Гёдель продвинулся дальше и обнаружил, что самосогласованность любой логической системы, содержащей арифметику, не может быть продемонстрирована. Только если логическая система меньше арифметики, можно показать, что она согласована и что все ее предложения могут быть доказаны истинными или ложными. Это пример евклидовой геометрии: можно показать, что каждое предложение является следствием истина или ложь аксиом теории, хотя необходимая процедура может быть очень большой. Доказательство «невозможно избежать» нерешительности Гёделя привело ко многим приложениям в различных областях человеческой мысли. соображения были сделаны о его последствиях в способности достичь полного понимания «физической вселенной с помощью инструментов математики, было высказано мнение, что, так как мы можем» видеть истину гёделевских предложений, это означает, что человеческий разум не может быть формальная система.
Верхнюю грань также называют точной верхней границей , а нижнюю грань - точной нижней границей . Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.
Определение предела последовательности
Число a
называется пределом последовательности
,
если для любого положительного числа существует такое натуральное число N
,
зависящее от ,
что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .
Если бы это было так, то «предприятие из тех ученых» искусственного интеллекта, которые позволили бы сократить функционирование человеческого ума к единому алгоритму, было бы безнадежным. Вот пример очень простого предложение математики известной неразрешимыми. определить большой набор чисел, который содержит больше элементов значения наименьшего элемента. Если множество не больше, то мы будем говорить, что это мало. теперь известно, что, если вы возьмете разделены достаточно чисел и их в любом случае в двух группах, то одна часть всегда будет отличным набором, но проблема определения того, сколько ответ на «достаточное количество номеров» будет нерешительным.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.
Открытый интервал (a - ε, a + ε) называют ε - окрестностью точки a .
Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .
Даже если бы это было показано, что цели формализм недостижимы, философия математики была бы неудовлетворительной, потому что любое утверждение верно в некоторой системе аксиом. Кроме того, если мы расширим систему таким образом, чтобы включать в себя новые аксиомы, мы должны рассмотреть все структуры, принадлежащие к ней, как другие, чем те, которые принадлежат к исходной системе. Технически, новая система не была бы одни и те же треугольники треугольники старой системы, и тем не менее мы считаем, что в некотором смысле они одинаковы.
Хуже того: мы знаем, что никакой формализм не отражает работу, фактически выполняемую всеми математиками. Несмотря на неожиданные «недостатки» формализма, эта доктрина не исчезла полностью. Многие чистые математики довольствовались идти как обычно, независимо от того, что арифметические, логические структуры или более изощренными, они могут быть очень противоречивы, что невозможно доказать обратное.
Точка a
не является пределом последовательности
,
если существует такое ,
что для любого натурального n
существует такое натуральное m >
n
,
что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε
- окрестностью точки a
,
за пределами которой будет находиться бесконечное число членов последовательности.
Свойства предела последовательности
Основные свойства
Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, и этот предел равен числу C .
Этот подход привлекает особенно тех, кто заинтересованы в приложениях, и хотел бы провести четкое различие между чистой и прикладной математикой. Недавно флаг формализма был принесен в основном консорциумом французских математиков, известных под псевдонимом Николя Бурбаки, что в течение последних пятидесяти лет были соавторы ряда книг по фундаментальным структурам математики, и, в частности, арифметика и. геометрия они представляют собой «последнюю надежду формалистов: превосходство» аксиома, строгость и элегантность, она сбегает из диаграмм, примеров и особенных, в пользу абстрактные и общего характер.
Если у последовательности отбросить или изменить первые m членов , то это не повлияет на ее сходимость.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена .
Если последовательность имеет предел a , то, за пределами любой окрестности точки a , может находиться только конечное число членов последовательности .
Цель проекта Бурбаки не было достижение новых результатов, но систематизировать и унифицировать известные вещи в новой абстрактной системы и более кратким. Никто не кажется, знаю, почему французские математики группа, которая начала выбрал псевдоним несуществующего французского языка. Возможно, они были вдохновлены памяти генерала Чарльз Денис Саутер Бурбаки, эксцентричному офицер «французской армии, отличился во время франко-прусской войны и который, видимо, отказался от» предложение трона Греции в десятилетие после того, как судьба оставила его и вместе его солдаты, мы находим его в тюрьме в Швейцарии, где он пытался стрелять, но безуспешно.
Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число членов последовательности .
Теорема единственности предела числовой последовательности . Последовательность не может иметь два различных предела.
Если последовательность имеет предел a
и p
и q
любые числа, для которых выполняется соотношение ,
то существует такой номер N
,
что для всех ,
члены последовательности принадлежат интервалу
.
Они рассказывают много других странных историй о реальном г Бурбаки, многие из которых, вероятно, созданы той же группы, чтобы сделать самую увлекательную легенду. Несмотря на ограничения, установленные открытием Гёделя, группа Бурбаки хотела унифицировать кодификацию решающей части математики, сосредоточившись на различных алгебраических структурах, которые генерируются различными наборами аксиом и правил, подходящими для разных областей математики. Бурбаки надеялся добиться успеха в организации различных частей математического знания в единый корпус, чтобы выявить новое сходство между поверхностно различными структурами и использовать их во всей области исследований.
Доказательства основных свойств
приведены на странице
Основные свойства пределов последовательностей >>> .
Арифметические действия с пределами
Пусть существуют пределы и последовательностей и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
В случае частного предполагается, что для всех n
.
Математика, для Бурбаки, является просто продуктом работы математиков: «Человеческое творение, а не божественное откровение». Математика рассматривается как живая, растущая структура, которая требует организации, чтобы избежать хаотичности и фрагментации.
Этот спектр рассматривается прагматично, обращаясь к опыту и полагая, что отсутствие таких доказательств редко бывает важным и что, тем не менее, оно безвредно. Необходимо лишь немного опасно жить. По иронии судьбы, несмотря на желание отделить математику от любых следов рабства с реальным миром, обращение к реальному миру как к одной из многих возможных автономных структур делает математику Бурбаки с ее неразрывной самосогласованностью просто наукой вроде всех другие. Несмотря на это, влияние проекта Бурбаки было очень большим, и в 1960-х и 1970-х годах оно, казалось, стимулировало эти учебные программы новой математики, принятые в высших учебных заведениях многих стран.
Если , то .
Доказательства арифметических свойств
приведены на странице
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>> .
Свойства, связанные с неравенствами
Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .
Этот подход к преподаванию математики Он значительно отличается от традиционного, в котором акцент делается на манипулировании и решении проблем. В новой математике вместо арифметики, интереса, логарифмов, геометрии и расчета мы изучаем множества, группы и другие абстрактные математические структуры. Этот эксперимент, кажется, не был очень успешным, и нынешняя модель преподавания математики детям гораздо менее абстрактна. Многие протесты родителей против новой математики, несомненно, были вызваны тем фактом, что они чувствовали разочарование в том, что их дети не смогли выполнить традиционные математические вычисления с достаточным навыком.
Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу: .
Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .
Если и , то .
Пусть и . Если a < b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство .
И поскольку они не могли понять того, чему их учили, их родители не могли оказать помощь своим детям. В середине 80-х годов опрос, проведенный среди активных математиков, показал, что тридцать процентов из них были формалистами в смысле Бурбаки. Объясняется это тем, что большая часть математической работы далека от «открытия» работы как обычно поверьте; в этой работе, скорее, преобладает процесс рафинирования, благодаря которому сложные и сложные демонстрации становятся все более и более простыми и короткими, так что последовательность аргументов очевидна или тривиальна.
Доказательства свойств, связанных с неравенствами
приведены на странице
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>> .
Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности
Бесконечно малая последовательность
Последовательность называется бесконечно малой последовательностью
, если ее предел равен нулю:
.
С банальными математиками они не хотят обращаться к новым аргументам: демонстрация сводится к последовательности известных операций. Чтобы добиться этого, лучше всего действовать как формалист, даже если некоторые последствия этой философской перспективы могут быть непривлекательными.
Бурбаки также должны ответить на вопрос, сформулированный в словах Эйнштейна: «Как математика, которая в конце концов является продуктом человеческого разума, независимого от реальности, настолько хорошо вписывается в объекты реальности?» Такие формалисты, как Бурбаки, рассматривают работу математиков как объяснение фундаментальных структур логики; если они углублятся, они будут включать все логически приемлемые взаимосвязи. Мир вокруг нас рассматривается как практическая реализация некоторых из этих структур, чтобы их можно было проиллюстрировать или сформировать с помощью конкретных взаимосвязей, существующих между материальными вещами.
Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Тот факт, что формальные структуры математики не имеет смысла сам по себе, может быть истолкован: вместо того, чтобы утверждать, что они не могут быть применены ни к чему, можно утверждать, что они применимы ко всем возможным вещам. Наблюдаемая Вселенная - лишь одна из них.
Самый простой способ рассмотреть математику - это утверждать, что мир является математическим в некотором глубоком смысле. Это универсальный язык, который можно использовать для общения с существами других планет, разработанных независимо от нас. Эта точка зрения была неявно принята теми, кто ищет внеземный интеллект, которые отправляют информацию о человеческой науке и математике в космос, надеясь привлечь внимание любых инопланетных прогрессистов. Для реалиста число семь существует как несущественная идея, которую мы можем видеть практически в конкретных случаях, таких как семь дварфов, семь невест и семь братьев.
Для того, чтобы последовательность имела предел a , необходимо и достаточно, чтобы , где - бесконечно малая последовательность.
Бесконечно большая последовательность
Последовательность называется бесконечно большой последовательностью
, если для любого положительного числа существует такое натуральное число N
,
зависящее от ,
что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.
Если ,
начиная с некоторого номера N
,
то
.
Если же ,
то
.
Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля членами, то последовательность является бесконечно большой.
Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.
Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом (), а - бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.
Критерии сходимости последовательностей
Монотонные последовательности
Последовательность называется возрастающей
, если для всех n
выполняется неравенство:
.
Соответственно, для убывающей
последовательности выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что возрастающая последовательность также является неубывающей. Убывающая последовательность также является невозрастающей.
Последовательность называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .
Теорема Вейерштрасса . Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M - некоторое число.
Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:
Для того чтобы монотонная последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .
Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.
Условие Коши
. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число ,
что для всех натуральных чисел n
и m
,
удовлетворяющих условию ,
выполняется неравенство
.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями
.
Критерий Коши сходимости последовательности . Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Подпоследовательности
Теорема Больцано - Вейерштрасса . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности - бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.
Последовательность
называется
сходящейся
,
если существует число,
к которому она сходится, т.е.Иногда
удобно записывать определение сходимости
последовательностив
следующих эквивалентных первоначальному
видах:
вне
окрестностилежит
конечное число элементов последовательности.
Теорема. Если последовательность сходится, то ее предел единственный.
Доказательство
(от противного). Пусть
.
Возьмем,
тогда
по
выбору,
с другой стороны, по определению
сходимости, для
Следовательно, для , что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.
4. Ограниченность сходящейся последовательности.
Последовательность
называетсяограниченной
,
если
.
Это означает, что
или
что множествоможно
накрыть отрезком.
Замечание. Ясно, что последовательностьбудет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком, начиная с некоторого номера. (Вне отрезкаможет лежать лишь конечное число элементов последовательности, следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком, где).
Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство.
Пустьи.
Тогда, по определению сходимости,
существует номертакой,
что для всех
.
Следовательно,,
и поэтому.
Итак, позамечанию,
последовательностьограничена.
5. Сохранение знака сходящейся последовательности
Теорема.
Если последовательность
сходится
к числу,
то вся последовательностьлежит
вне окрестности нуля(радиус
а/2), начиная с некоторого номера.
(Другая
формулировка теоремы:a n a>0,тогда
)
Доказательство.
Достаточно взять.
Тогда, по определению предела, найдется,
что для всех
,
следовательно,
6.Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.
Свойство 3.2.4. Если для всех n и , тоДоказательство. Пусть, напротив, . Зададим. Тогда по определению сходимости
Следовательно,
для
выполняются
соотношения
что противоречит условию теоремы.
7.Теорема о трех последовательностях.
Теорема. Если для всех n и ,то
Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности к числу. Возьмем любое, тогда из условияследует, чтоиз условияследует, чтоПоэтому для всехвыполняются неравенстваследовательно,.
Пример 3.2.1. Докажем, что. Действительно, для любого, получим
Следовательно,.
8. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
Последовательность называетсябесконечно малой , если при. Развернутое определение:
Последовательность
называетсябесконечно
большой
,
если
Этот факт будем записывать так:приили
Теорема 3.3.1. Последовательность является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательностьявляется бесконечно большой.
Доказательство
следует из того факта, что неравенстворавносильно
неравенству
,
и определений бесконечно малых и
бесконечно больших последовательностей.
(Берем
)
9.Свойства бесконечно малых последовательностей.
Свойство 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей иесть бесконечно малая последовательность .
Доказательство.
Возьмем произвольное
.
Для него
Тогда
Свойство
2.
Произведение
бесконечно
малой последовательностина
ограниченную последовательностьесть
бесконечно малая последовательность
.
Доказательство.
Из ограниченности
следует
существование числатакого,
что для всех
.
Следовательно, при любом положительномдля
положительногосуществует
номертакой,
что для всех
.
Поэтому для этихn
>
N
имеем.
Следовательно, по определению Коши,при.
Свойство 3. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали числои бесконечно малая последовательностьтакие, что для всехвыполнялось равенство .
Доказательство. Необходимость . Пусть при. Рассмотрим, тогда из определения сходимостиследует, чтопри.
Достаточность . Если , то из того, что- бесконечно малая последовательность иследует, чтопри.