Расширенная теорема пифагора. Калькулятор теоремы пифагора
Теорема Пифагора – фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи.
История теоремы
На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос. Так, задачи о соотношении сторон встречаются в древних текстах периода правления вавилонского царя Хаммурапи, то есть за 1500 лет до рождения самосского математика. Заметки о сторонах треугольника зафиксированы не только в Вавилоне, но и Древних Египте и Китае. Одно из самых известных целочисленных соотношений катетов и гипотенузы выглядит как 3, 4 и 5. Эти числа использовались древними землемерами и зодчими для построения прямых углов.
Итак, Пифагор не изобретал теорему о соотношении катетов и гипотенузы. Он первым в истории доказал ее. Однако на этот счет существуют сомнения, так как доказательство самосского математика, если оно и было зафиксировано, утеряно в веках. Существует мнение, что доказательство теоремы, приведенное в «Началах» Евклида, принадлежит именно Пифагору. Впрочем, на этот счет у историков математики большие сомнения.
Пифагор был первым, но после него теорему о сторонах прямоугольного треугольника доказали около 400 раз, используя самые разные методики: от классической геометрии до дифференциального исчисления. Теорема Пифагора всегда занимала пытливые умы, поэтому среди авторов доказательств можно вспомнить , и президента США Джеймса Гарфилда.
Доказательства
В математической литературе зафиксировано не менее четырех сотен доказательств теоремы Пифагора. Такое умопомрачительное количество объясняется фундаментальным значением теоремы для науки и элементарностью результата. В основном пифагорова теорема доказывается геометрическими способами, наиболее популярными из которых являются метод площадей и метод подобий.
Самым простым методом доказательства теоремы, не требующим обязательных геометрических построений, является метод площадей. Пифагор заявил, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Попробуем доказать это смелое утверждение. Мы знаем, что площадь любой фигуры определяется при помощи возведения линейного сегмента в квадрат. Линейным сегментом может быть что угодно, но чаще всего это сторона фигуры или ее радиус. В зависимости от выбора сегмента и типа геометрической фигуры квадрат будет иметь различные коэффициенты:
- единицу в случае с квадратом – S = a^2;
- приблизительно 0,43 в случае с равносторонним треугольником – S = (sqrt(3)/4)a^2;
- Пи в случае с кругом – S = pi × R^2.
Таким образом, площадь любого треугольника мы можем выразить в виде S = F × a^2, где F – некоторый коэффициент.
Прямоугольный треугольник – удивительная фигура, которую легко разделить на два подобных прямоугольных треугольника, всего лишь опустив перпендикуляр из любой вершины. Такое разделение превращает прямоугольный треугольник в сумму двух прямоугольных треугольников поменьше. Так как треугольники подобны, их площади вычисляются по одной и той же формуле, которая выглядит как:
S = F × гипотенуза^2
В результате разделения большого треугольника со сторонами a, b и c (гипотенуза) получились три треугольника, причем у меньших фигур гипотенузами оказались стороны изначального треугольника a и b. Таким образом, площади подобных треугольников вычисляются как:
- S1 = F × c^2 – исходный треугольник;
- S2 = F × a^2 – первый подобный треугольник;
- S3 = F × b^2 – второй подобный треугольник.
Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей подобных:
F × c^2 = F × a2 + F × b^2
Коэффициент F легко сократить. В итоге получаем:
c^2 = a^2 + b^2,
что и требовалось доказать.
Пифагоровы тройки
Выше уже упоминалось популярное соотношение катетов и гипотенуз как 3, 4 и 5. Пифагоровы тройки – это набор трех взаимно простых чисел, которые удовлетворяют условию a^2 + b^2 = c^2. Таких комбинаций существует бесконечное количество, а первые из них использовались еще в древности для построения прямых углов. Завязывая определенное количество узлов на бечевке через равные промежутки и складывая ее в виде треугольника, древние ученые получали прямой угол. Для этого на каждой стороне треугольника требовалось завязать узлы, в количестве, соответствующем пифагоровым тройкам:
- 3, 4, и 5;
- 5, 12 и 13;
- 7, 24 и 25;
- 8, 15 и 17.
При этом любую пифагорову тройку можно увеличить в целое количество раз и получить пропорциональное соотношение, соответствующее условию теоремы Пифагора. К примеру, из тройки 5, 12, 13 можно получить значения сторон 10, 24, 26 простым умножением на 2. Сегодня пифагоровы тройки используются для быстрого решения геометрических задач.
Применение теоремы Пифагора
Теорема самосского математика используется не только в школьной геометрии. Пифагорова теорема находит применение в архитектуре, астрономии, физике, литературе, информационных технологиях и даже в оценке эффективности социальных сетей. Теорема применяется и в реальной жизни.
Выбор пиццы
В пиццериях перед покупателями часто возникает вопрос: взять одну большую пиццу или две поменьше? Допустим, можно купить одну пиццу диаметром 50 см или две пиццы поменьше, диаметром 30 см. На первый взгляд две пиццы поменьше – это больше и выгоднее, но не тут-то было. Как быстро сравнить площади приглянувшихся пицц?
Мы помним теорему самосского математика и пифагоровы тройки. Площадь круга – это квадрат диаметра с коэффициентом F = pi/4. А первая пифагорова тройка – это 3, 4 и 5, которую мы легко можем превратить в тройку 30, 40, 50. Следовательно 50^2 = 30^2 + 40^2. Очевидно, что площадь пиццы с диаметром 50 см будет больше, чем сумма пицц с диаметрами по 30 см. Казалось бы, что теорема применима только в геометрии и только для треугольников, но на этом примере видно, что соотношениеc^2 = a^2 + b^2 можно применять и для сравнения других фигур и их характеристик.
Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять любые значения, удовлетворяющие фундаментальному уравнению о сумме квадратов. Для расчета достаточно ввести 2 любых значения, после чего программа вычислит недостающее коэффициент. Калькулятор оперирует не только целыми, но и дробным значениями, поэтому для вычислений разрешается использовать любые числа, а не только пифагоровы тройки.
Заключение
Теорема Пифагора – фундаментальная вещь, которая находит широкое применение во многих научных приложениях. Используйте наш онлайн-калькулятор для подсчета величин значений, которые связаны выражением c^2 = a^2 + b^2.
Для всякой тройки положительных чисел a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} , такой, что a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , существует прямоугольный треугольник с катетами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузой c {\displaystyle c} . Шаблон:/рамка
Доказательства
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .
Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры.
Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A , B и C построенных на сторонах с длиной a , b и c , имеем:
A a 2 = B b 2 = C c 2 , {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,} ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C . {\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}Но, по теореме Пифагора, a 2 + b 2 = c 2 , тогда A + B = C .
И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника (A и B ), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2 .
Теорема косинусов
Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 , {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},\,}где θ - угол между сторонами a и b .
Если θ равен 90 градусов, тогда cosθ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.
Произвольный треугольник
В любой выбранный угол произвольного треугольника со сторонами a, b, c впишем равнобедренный треугольник таким образом, чтобы равные углы при его основании θ равнялись выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ расположен напротив стороны, обозначенной c . В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что расположен напротив стороны a и стороны r . Второй треугольник образуется углом θ, что расположен напротив стороны b и стороны с длиной s , как показано на рисунке. Сабит Ибн Курра утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны следующим образом:
a 2 + b 2 = c (r + s) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}Когда угол θ приближается к π/2, основание равнобедренного треугольника уменьшается, и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π/2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c и получаем начальную теорему Пифагора.
Рассмотрим один из доводов. Треугольник ABC имеет такие же углы, как и треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC - подобен отражению ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между противоположными сторонами и прилегающими к углу θ,
c a = a r . {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}}\ .}Так же отражение другого треугольника,
c b = b s . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\ .}Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:
c r + c s = a 2 + b 2 , {\displaystyle cr+cs=a^{2}+b^{2}\ ,}что и требовалось доказать.
Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы
Сделаем дальнейшее обобщение для непрямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов. (квадраты - частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах, при условии что параллелограмм на длинной стороне построен, как изображено на рисунке (размеры, отмеченные стрелками, одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет четкое сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что её сформулировал Папп Александрийский в 4 г. н. э.
Нижний рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такое же основание b и высоту h . Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что они имеют общее основание (верхняя левая сторона треугольника) и общую высоту, перпендикулярную к этой стороне треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую же площадь, как у двух зеленых параллелограммов.
Комплексные числа
Теорему Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе , и эта теорема справедлива для всех истинных координат: расстояние s между двумя точками (a, b ) и (c, d ) равно
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 . {\displaystyle s={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.\ }Не возникает проблем с формулой, если к комплексным числам относиться как к векторам с действительными компонентами x + i y = (x , y ). . Например, расстояние s между 0 + 1i и 1 + 0i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или
s = (− 1) 2 + 1 2 = 2 . {\displaystyle s={\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}.\ }Тем не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное усовершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными числами (a , b ) и (c , d ); a , b , c , и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основано на векторной разнице (a − c , b − d ) в следующем виде: пусть разница a − c = p + i q , где p - действительная часть разницы, q - мнимая часть, и i = √(−1). Аналогично, пусть b − d = r + is . Тогда:
s = (p + i q) (p + i q) ¯ + (r + i s) (r + i s) ¯ = (p + i q) (p − i q) + (r + i s) (r − i s) = p 2 + q 2 + r 2 + s 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}s&={\sqrt {(p+iq){\overline {(p+iq)}}+(r+is){\overline {(r+is)}}}}\\&={\sqrt {(p+iq)(p-iq)+(r+is)(r-is)}}\\&={\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}}},\end{aligned}}}где z ¯ {\displaystyle {\overline {\mathit {z}}}} - это комплексное сопряженное число для z {\displaystyle {\mathit {z}}\ } . Например, расстояние между точками (a , b ) = (0, 1) и (c , d ) = (i , 0) , рассчитаем разницей (a − c , b − d ) = (−i , 1) и в результате мы бы получили 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Следовательно, используя усовершенствованную формулу, получим
s = (− i) ⋅ (− i ¯) + 1 ⋅ 1 ¯ = (− i) ⋅ i + 1 ⋅ 1 = 2 . {\displaystyle s={\sqrt {(-i)\cdot ({\overline {-i}})+1\cdot {\overline {1}}}}={\sqrt {(-i)\cdot {i}+1\cdot {1}}}={\sqrt {2}}.\,}Модуль определен следующим образом:
∥ p ∥ = p ⋅ p ¯ = | p 1 | 2 + | p 2 | 2 + ⋯ + | p n | 2 , {\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {\mathbf {p\cdot {\overline {p}}} }}={\sqrt {|p_{1}|^{2}+|p_{2}|^{2}+\dots +|p_{n}|^{2}}}\ ,}Стереометрия
Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа , названная в честь Ж.-П. де Гуа : если тетраэдр имеет прямой угол (как в кубе), тогда квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трех граней. Этот вывод может быть обобщен как «n -мерная теорема Пифагора»:
Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:
B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,}где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:
A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,}или, если все записать одним уравнением:
A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 + C D ¯ 2 . {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .}Этот результат - это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {v k } (три взаимно перпендикулярные стороны):
∥ v ∥ 2 = ∑ k = 1 3 ∥ v k ∥ 2 . {\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.
Векторное пространство
В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которое тоже называют теоремой Пифагора:
∑ k = 1 n ∥ v k ∥ 2 = ∥ ∑ k = 1 n v k ∥ 2 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\|v_{k}\|^{2}=\left\|\sum _{k=1}^{n}v_{k}\right\|^{2}.}Если { v k } {\displaystyle \{v_{k}\}{\frac {}{}}} - это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида - и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.
Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов имеет название равенства Парсеваля .
Неевклидова геометрия
Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и, фактически, не действительна для неевклидовой геометрии, в том виде, в котором записана выше. (То есть теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом постулату Евклида о параллельности ) Другими словами, в неевклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a , b и c ), которые ограничивают собой октант (восьмую часть) единичной сферы, имеют длину π/2, что противоречит теореме Пифагора, потому что a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии - сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях, как и для евклидова пространства для прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора, следует из теоремы косинусов .
Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему, скажем A +B = C . Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c .
Сферическая геометрия
Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c соотношение между сторонами будет иметь такой вид:
cos (c R) = cos (a R) cos (b R) . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которое справедливо для всех сферических треугольников:
cos (c R) = cos (a R) cos (b R) + sin (a R) sin (b R) cos γ . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .} c h c = c h a c h b {\displaystyle \mathrm {ch} c=\mathrm {ch} a\,\mathrm {ch} b}где ch - гиперболический косинус . Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:
c h c = c h a c h b − s h a s h cos γ , {\displaystyle \mathrm {ch} c=\mathrm {ch} a\ \mathrm {ch} b-\mathrm {sh} a\ \mathrm {sh} \ \cos \gamma \ ,}где γ {\displaystyle \gamma } - это угол, вершина которого противоположна стороне c .
d s 2 = ∑ i , j n g i j d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}где g ij называется метрическим тензором . Он может быть функцией позиции. Такие криволинейные пространства включают Риманову геометрию как общий пример. Это формулировка также подходит для Евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат:
d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}Векторное произведение
Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения. Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнению:
∥ a × b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 − (a ⋅ b) 2 {\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})^{2}\,}в этой формуле используется скалярное произведение . Правая сторона уравнения называется детерминант Грамма для a и b , что равно площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев из 0- и 1-мерного пространства, векторное произведение определено только в трех и семи измерениях. Используем определение угла в n -мерном пространстве:
(a ⋅ b) = a b cos θ , {\displaystyle (\mathbf {a\cdot b})=ab\ \cos \theta \ ,}это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:
∥ a × b ∥ 2 = a 2 b 2 (1 − cos 2 θ) . {\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|^{2}=a^{2}b^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).\,} x 2 + y 2 = z 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}Формулировка «Великой теоремы Ферма » аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.
Упоминание в художественной литературе
Теорема Пифагора упоминается в повести Евгения Велтистова «Электроник - мальчик из чемодана», где Электроник в роли Сыроежкина на уроке математики в школе утверждает, что может доказать теорему Пифагора двадцатью пятью способами и приводит некоторые из них, чем поражает класс и учителя математики Таратара.
См. также
Примечания
- Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / М. Л. Титаренко. - М. : Восточная литература РАН, 2009. - Т. 5. - С. 939-941. - 1055 с. - ISBN 9785020184299 .
- History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.
Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:
Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.
Решение задач с использованием теоремы Пифагора
Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.
Итак, дано:
- Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
- Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.
Приступим к решению:
a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b = 64 или b = -64
Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.
Ответ к первому рисунку: b = 64.
b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b = 35 или b = -35
Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.
Ответ ко второму рисунку: b = 35
Нам дано:
- Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
- Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.
Решаем задачу:
a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.
b) Выполняется та же самая операция:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.
Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:
Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):
Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):
Поскольку имеет место равенство:
то соответствующий треугольник является прямоугольным.
Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.
Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:
Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.
Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.
Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:
Итак, ширина пруда составляет 10 метров.
Сергей Валерьевич