Превращение обычных дробей в десятичные. Перевод десятичных чисел в дробь. Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод.
1 января 2017
Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.
Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:
Когда мы говорим, мы часто используем разные слова, чтобы выразить одно и то же. Например, мы могли бы описать тот же автомобиль, что и крошечный или маленький или маленький. Все эти слова означают, что автомобиль невелик. Фракции, десятичные знаки и проценты похожи на слова крошечные, маленькие и маленькие. Они - все разные способы выражения частей целого.
На этом изображении каждая измерительная чашка содержит в себе столько же сока. Но мы выразили эту сумму тремя способами: как фракцией, как процентом, так и десятичной. Иногда полезно преобразовать один вид числа в другой. Изучение того, как преобразовать фракции, десятичные числа и проценты, также поможет вам, когда вы изучите более продвинутую математику.
\
Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?
Основной алгоритм
На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:
Преобразование дробной части в десятичную
Каждая фракция также может быть записана как десятичная, и наоборот. Вы можете не делать этого очень часто, но преобразование десятичных дробей и дробей может помочь вам в математике. Давайте преобразуем дробь в десятичную. Мы будем использовать математический навык, который вы уже изучили: длинное разделение. Чтобы обновить свою память на этом умении, вы можете пересмотреть наш урок.
Преобразование десятичной дроби в дроби
Преобразуйте каждую из этих дробей в десятичную. Преобразуем десятичную дробь в дробь. 
Уменьшение доли может показаться ненужным, когда вы конвертируете десятичную строку. Но важно, если вы собираетесь использовать фракцию в математической задаче. Если вы добавите две фракции, вам может потребоваться уменьшить или изменить как Так что они имеют общий знаменатель.
Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:
Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной
Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?
Преобразуйте эти десятичные числа в дроби. Обязательно уменьшите каждую фракцию до ее простейшей формы! Знание того, как конвертировать проценты и десятичные значения, поможет вам рассчитать такие вещи, как налог с продаж и скидки. Чтобы узнать, как это сделать, ознакомьтесь с нашим уроком.
Преобразование процента в десятичную
Преобразование процента в десятичное число удивительно просто. Это занимает всего несколько простых шагов. 
Преобразование процентов в десятичные знаки настолько легко, что вы можете почувствовать, что вы что-то пропустили. Но не беспокойтесь - это действительно так просто! Вот почему метод, который мы показали вам, работает.
Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.
Более быстрый способ
В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
- Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
- Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
- По возможности сократить полученную дробь.
Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:
Когда мы превращаем процент в десятичное число, мы фактически делаем два шага: во-первых, мы преобразуем наш процент во фракцию. Поскольку все проценты из 100, мы просто ставим процент более 100, например. Вы уже знаете, это означает, что мы разделим числитель на знаменатель, например.
Итак, почему мы не продемонстрировали вам эти шаги в слайд-шоу? Потому что вы можете получить ответ без них. Вы знаете, что все проценты из 100, поэтому вы можете пропустить процентную долю. Вы должны разделить процент На 100, чтобы получить десятичное число, но есть быстрый способ сделать это. Просто переместите десятичную точку в два пробела влево! Таким образом, вы можете получить один и тот же ответ одним простым шагом.
\
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)
Ещё один пример:
Преобразование десятичной дроби в проценты
Преобразуйте эти проценты в десятичные числа. Теперь мы отменим то, что вы только что узнали. Давайте преобразуем десятичный знак в проценты. 
Вычислите эти десятичные числа в процентах. Знание того, как писать проценты как фракции и наоборот, может помочь вам в вашей повседневной жизни. Например, допустим, что вы заработали 80% теста. Вы можете преобразовать 80% на долю, чтобы узнать, сколько ответов было правильно. Когда ваш учитель оценивает тест, она может сделать обратное.
\
Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.
Преобразование процента во фракцию
Когда вы переводите процент на долю, это помогает помнить, что проценты всегда из 100. 
Напишите эти проценты как фракции. Удостоверьтесь, чтобы уменьшить каждую фракцию до ее простейшей формы. Смешанная фракция представляет собой целое число и соответствующую комбинацию.
Посмотрите, как каждый пример состоит из целого числа и правильной фракции вместе? Вот почему он называется «смешанной» фракцией. Мы можем давать имена каждой части смешанной фракции. Существует три типа фракций. Смешанные фракции или неправильные фракции.
Наконец, последний пример:
\
Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.
Умножьте все число на знаменатель дроби
Вы можете использовать либо неправильную фракцию, либо смешанную фракцию, чтобы показать ту же сумму. Преобразование смешанных фракций в неправильные фракции. Добавьте числитель дробей к этому. Затем положите выше знаменателя так. Преобразование ненадлежащих фракций в смешанные фракции.
Для повседневного использования люди лучше понимают смешанные фракции
Запишите 2, а затем запишите остаток выше знаменателя, например. Когда использовать неправильные фракции или смешанные фракции. Но для математики неправильные фракции на самом деле лучше, чем смешанные фракции. Неправильная фракция имеет верхнее число, большее, чем нижнее. Это «самый тяжелый».
Что делать с целой частью
На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.
Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:
Фракция имеет два числа. Верхнее число - это количество частей, которые у нас есть. Нижнее число - это количество частей, разделенных на все. У нас есть 7 частей. Каждая часть - четверть целого. Таким образом, мы можем определить три типа таких фракций. . Таким образом, некорректная фракция представляет собой дробь, где верхнее число больше или равно нижнему числу: оно очень тяжелое.
Мы можем использовать либо неправильную фракцию, либо смешанную фракцию, чтобы показать ту же сумму
Как насчет того, когда числитель равен знаменателю? Ну, это то же самое, что и целое, но написано как дробь, так что большинство людей согласны, что это тип неправильной фракции. Неправильные фракции или смешанные фракции.
Умножьте все число на знаменатель
В предыдущих сообщениях мы видели, как мы можем преобразовывать целые числа из десятичной в двоичную нотацию и обратно, но во всех моих сообщениях мы пока смотрели только на целые числа. Что, если мы хотим вместо этого представлять действительные числа?\
Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:
\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]
Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:
\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]
В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)
Рассмотрим действие на примере
Что, если мы хотим представлять числа с дробными частями? В сегодняшнем сообщении мы рассмотрим бинарные и десятичные дроби. Как вы знаете, когда мы пишем число в десятичном виде, мы можем разбить его на несколько разных компонентов. Как мы видели с целыми числами, у нас есть разные столбцы в левой части десятичной точки, которые представляют разные компоненты целой части нашего числа.
В этом случае, однако, в правой части десятичной точки также имеются дробные части. Как видите, дробная часть также состоит из нескольких столбцов, представляющих дробные компоненты разных размеров. То, что вы, возможно, не осознали, состоит в том, что так же, как показатель экспоненты уменьшается на единицу, когда мы перемещались слева направо в сторону десятичной точки, этот тренд продолжается в правой части десятичной точки.
В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.
Преобразования «на слух»
Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.
Поэтому, учитывая это, давайте взглянем на аналогичный пример в двоичном формате. Первое, что нужно упомянуть здесь, это то, что нам нужно исправить некоторую терминологию. В следующем примере, хотя мы не представляем числа как десятичные, мы будем использовать двоичный код, так что мы называем этим разделителем? Поэтому, хотя термин десятичная точка верна, более точным термином для использования является точка счисления. Итак, мы могли бы сначала разбить его на составляющие компоненты следующим образом.
Преобразование двоичной фракции в десятичную дроби
Обратите внимание на то, как экспонент становится отрицательным в правой части точки счисления так же, как и десятичным. Посмотрим, можем ли мы теперь взять нашу двоичную дробь и преобразовать ее в десятичный эквивалент. Процесс преобразования двоичной фракции в ее десятичный эквивалент действительно в два раза, и мы будем иметь дело с числами левой и правой сторон точки оснований отдельно.
А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.
Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:
\
Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому
Для начала давайте посмотрим на левую сторону. Рассматривая преобразование двоичного кода в левой части точки оснований, мы преобразуем его так же, как и при преобразовании любого двоичного целочисленного числа в его десятичный эквивалент. Мы делаем это, добавляя результаты от каждого из столбцов различных чисел.
Преобразование из десятичной дроби в двоичную фракцию
Затем давайте посмотрим на правую часть точки оснований. Здесь мы делаем то же самое, что и слева, только с дробными столбцами. Все, что нам нужно сделать, это объединить целую часть и дробные части вместе по обе стороны от точки счисления. Теперь, что, если мы хотим пойти другим путем, от десятичной до двоичной? В следующем примере мы собираемся принять десятичную дробь и найти ее двоичный эквивалент.
\
А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому
\
В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому
\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]
Вычисление всей числовой части
Первый шаг - найти самый высокий коэффициент 2, который будет вписываться в целую часть нашего числа. Если мы просмотрим различные столбцы двоичного числа выше, мы увидим, что самый высокий коэффициент, который подходит, будет 8, поэтому мы помещаем 1 в столбец 8 и вычитаем значение этого столбца из нашего исходного номера и отмечаем напоминание.
Это не так, поэтому мы помещаем 0 в этот столбец. Затем мы рассмотрим столбец 2 и снова значение этого столбца не вписывается в наш остаток, поэтому снова мы помещаем 0 в этот столбец. Наконец, мы проверяем столбец 1. С столбцом 1 значение столбца действительно вписывается в наше напоминание, поэтому мы помещаем 1 в этот столбец и снова вычитаем значение столбца из нашего остатка, чтобы получить новый остаток. На этот раз мы имеем остаток от 0, поэтому в этом пункте мы закончили.
Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.
На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «
Очень часто условие задачи требует от нас записи ответа в десятичной дроби, ведь она воспринимается намного легче, чем обыкновенная. Преобразовать обыкновенную дробь в десятичную очень просто.
Вычисление фракционной части
Далее нам нужно иметь дело с дробной частью нашего десятичного числа. Опять же, есть простой пошаговый метод для выполнения преобразования. Для начала возьмем десятичную дробь и умножьте ее на два. Затем мы берем всю цифру часть результата как первую двоичную цифру после точки счисления.
Затем мы проигнорируем всю часть предыдущего результата и снова умножим результат на два. Весь номер этого нового результата - это вторая цифра после точки счисления. Опять же, пренебрегая целой числовой частью результата и снова умножаясь на 2. Снова возьмем всю цифру, на этот раз как третью цифру после точки счисления.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную
Для того чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель. a/b = a ÷ b
Пример 1: Переведите 1/10 в десятичную дробь.
Пользуясь правилом выше, делим 1 на 10:
1 ÷ 10 = 0,1
Пример 2: Переведите 2/16 в десятичную дробь.
Первым делом сокращаем 2 и 16, получаем 1/8.
Делим 1 на 8: 1 ÷ 8 = 0.125
Как перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую дробь
Встречаются случаи, когда разделив числитель на знаменатель получается бесконечная десятичная дробь.
Например, 1/15 = 1 ÷ 15 = 0.1333333333. Что делать в таких случаях?
Пример: Переведите 5/18 в десятичную дробь.
5/18 = 5 ÷ 18 = 0.277777777 = 0.27(7). Получили бесконечное количество семерок. Скобки означают, что цифра, внесенная в них, бесконечно повторяется.
В таких ситуация следует округлить получившееся число. Округляем 0.277777777 до сотых и приблизительно получаем 0.28
Так как часто деление числителя на знаменатель занимает много времени, можно воспользоваться калькулятором.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн
Если переводить дроби не охота, можно воспользоваться онлайн сервисом . Просто впишите значения числителя и знаменателя, а мини-программа выдаст ответ. Программа также позволяет проделывать обратное — переводить десятичную дробь в обыкновенную.
