Система массового обслуживания с ограниченной очередью. СМО с ожиданием (очередью). Пример оптимизации СМО

Главная

Бизнес блоги

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживаний имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки tоб. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Lсист - среднее число заявок в системе,

Wсист - среднее время пребывания заявки в системе,

Lоч - среднее число заявок в очереди,

Woч - среднее время пребывания заявки в очереди,

Рзан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А=λ, по той же причине Q = 1.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 - канал свободен,

S1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Sk - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди.

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.11. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью μ.

Рис. 4.11. Граф состояний СМО в виде схемы гибели и размножения с бесконечным числом состояний

Прежде всего, спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t→∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если р строго меньше единицы (р<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (4.21), (4.20). В нашем случае число слагаемых в формуле (4.21) будет бесконечным. Получим выражение для р0:

откуда

Вероятности р1, р2, ..., рk, ... найдутся по формулам:

откуда, с учетом (4.38), найдем окончательно:

p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk = ρ4(1- ρ), . . . (4.39)

Как видно, вероятности р0, р1, ..., pk, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р0 - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (р <1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО Lсист. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения 0, 1, 2, ..., k, ... с вероятностями р0, р1, p2, ..., рk, ... Ее математическое ожидание равно

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (4.40) выражение для рk (4.39):

Теперь вынесем за знак суммы р (1 - р):

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: kpk-1 есть не что иное, как производная по р от выражения рk; значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Ну, а теперь применим формулу Литтла (4.25) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Lоч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди Lоч равно среднему числу заявок в системе Lсист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Рзан). Очевидно, Рзан равно единице минус вероятность р0 того, что канал свободен:

и окончательно

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование) состава длится случайное (показательное) время со средним значением tоб = 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее число составов Lсист, связанных со станцией, среднее время Wсист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число Lоч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время Wоч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях Lвнеш и среднее время этого ожидания Wвнеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: Lcист = 2 (состава), Wсист = i (час), Lоч = 4/3 (состава), Wоч = 2/3 (часа), Lвнеш = 16/27 (состава), Wвнеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а: Ш ≈ 14,2а.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживаний имеет интенсивность, обратную среднему времени обслуживания заявки Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Среднее число заявок в системе,

Среднее время пребывания заявки в системе,

Среднее число заявок в очереди,

Среднее время пребывания заявки в очереди,

Вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

Канал свободен,

Канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

Канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Канал занят, заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью А переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если строго меньше единицы то финальные вероятности существуют, а при очередь при растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так.

При СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний существуют только при ). Теперь предположим, что это условие выполнено, и Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

(20.12)

Вероятности найдутся по формулам:

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

Как видно, вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как это ни странно, максимальная из них - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения с вероятностями

Ее математическое ожидание равно

(20.14)

(сумма берется не от 0 до а от 1 до так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для

Теперь вынесем за знак суммы :

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: есть не что иное, как производная пор от выражения значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ; эта сумма равна а ее производная . Подставляя это выражение в (20.15), получим:

(20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и наймем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус чйсло заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили ). Очевидно, равно единице минус вероятность того, что канал свободен;

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Будем предполагать, что входящий поток заявок на обслуживание есть простейший поток с интенсивностью λ.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Будем считать, что размер очереди ограничен и не может вместить более m заявок, т.е. заявка, заставшая в момент своего прихода в СМО m +1 заявок (m ожидающих в очереди и одну, находящуюся на обслуживании), покидает СМО.

Система уравнений, описывающих процесс в этой системе, имеет решение:

(0‑1)

Знаменатель первого выражения представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем ρ, откуда получаем

При ρ = 1 можно прибегнуть к прямому подсчету

(0‑8)

Среднее число находящихся в системе заявок.

Поскольку среднее число находящихся в системе заявок

(0‑9)

где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, то зная остается найти . Т.к. канал один, то число обслуживаемых заявок может равняться либо 0, либо 1 с вероятностями P 0 и P 1=1- P 0 соответственно, откуда

(0‑10)

и среднее число находящихся в системе заявок равно

(0‑11)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

(0‑12)

т.е., среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Среднее время пребывания заявки в системе.

Время пребывания заявки в системе складывается из времени ожидания заявки в очереди и времени обслуживания. Если загрузка системы составляет 100%, то =1/μ, в противном случае = q / μ . Отсюда

(0‑13)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется аналогично в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите исходные данные, которые определяются по правилу:

m=1,2,3

(максимальная длина очереди).

Для каждого значения m необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации m , и осуществите запуск модели.

3. Результаты запусков внесите в таблицу.

4. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя P отк , q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для m=3 постройте на одной диаграмме графики зависимости P отк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для прибора со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80 у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора равным 1у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки второго и третьего столбцов заполняются значениями и.

В клетки столбцов с четвертого по девятый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s + E q *(n-1)

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на эксплуатацию одного прибора ,

E q - расход на эксплуатацию одного места в очереди .

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- график зависимости прибыли в единицу времени от m .

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание одноканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование одноканальной СМО с отказами?

3) Как рассчитывается вероятность p 0 ?

4) Как рассчитываются вероятности p i ?

5) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

6) Как найти относительную пропускную способность?

7) Чему равна абсолютная пропускная способность?

8) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

9) Приведите примеры СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) Порт имеет один грузовой причал для разгрузки судов. Интенсивность потока составляет 0,5 заходов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Если в очереди на разгрузку стоят 3 судна, то приходящее судно направляется для разгрузки на другой причал. Найти показатели эффективности работы причала.

2) В справочную железнодорожного вокзала поступают телефонные запросы с интенсивностью 80 заявок в час. Оператор справочной отвечает на поступивший звонок в среднем 0,7 мин. Если оператор занят, клиенту выдается сообщение "Ждите ответа", запрос становится в очередь, длина которой не превышает 4 запросов. Дайте оценку работы справочной и вариант ее реорганизации

В коммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).

Рассмотрим простую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест в очереди т - фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и.покидает систему.

Граф этой СМО представлен на рис. 3.4 и совпадает с графом рис. 2.1 описывающим процесс «рождения--гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала.

Размеченный граф процесса «рождения - гибели» обслуживания все интенсивности потоков обслуживания равны

Состояния СМО можно представить следующим образом:

S0 - канал обслуживания свободен,

S, - канал обслуживания занят, но очереди нет,

S2- канал обслуживания занят, в очереди стоит одна заявка,

S3- канал обслуживания занят, в очереди стоят две заявки,

Sm+1 - канал обслуживания занят, в очереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.

Для описания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранее правилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

Выражение для р0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующих преобразований получаем:

с= (1- с)

Эта формула справедлива для всех р, отличных от 1, если же р = 1, то р0 = 1/(т + 2), а все остальные вероятности также равны 1/(т + 2).

Если предположить т = 0, то мы переходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами в обслуживании.

Действительно, выражение для предельной вероятности р0в случае т = 0 имеет вид:

pо = м / (л+м)

И в случае л =м имеет величину р0= 1 / 2.

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Заявка получает отказ, если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии Sm+1 и, следовательно, все места в очереди да заняты и один канал обслуживает

Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появлением

Состояния Sm+1:

Pотк = pm+1 = сm+1 * p0

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением

Q = 1- pотк = 1- сm+1 * p0

абсолютная пропускная способность равна:

Среднее число заявок Lочстоящих в очереди на обслуживание, определяется математическим ожиданием случайной величины к - числа заявок, стоящих в очереди

случайная величина к принимает следующие только целочисленные значения:

1 - в очереди стоит одна заявка,
2 - в очереди две заявки,

т-в очереди все места заняты

Вероятности этих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная с состояния S2. Закон распределения дискретной случайной величины к изображается следующим образом:

Таблица 1. Закон распределения дискретной случайной величины

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

Lоч = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

В общем случае при p ?1 эту сумму можно преобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобному виду:

Lоч = p2 * 1- pm * (m-m*p+1) * p0

В частном случае при р = 1, когда все вероятности pkоказываются равными, можно воспользоваться выражением для суммы членов числового ряда

1+2+3+ m = m(m+1)

Тогда получим формулу

L"оч= m(m+1) * p0 = m(m+1) (p=1).

Применяя аналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее время ожидания обслуживания заявки а очереди определяется формулами Литтла

Точ = Lоч/А (при р? 1) и Т1оч= L"оч /А(при р = 1).

Такой результат, когда оказывается, что Точ ~ 1/ л, может показаться странным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должна возрастать длина очереди и уменьшается среднее время ожидания. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, величина Lоч является функцией от л и м и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеет ограниченную длину очереди не более mзаявок.

Заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общем случае (при р? 1) к уменьшению Точростом л, поскольку доля таких заявок с ростом л увеличивается.

Если отказаться от ограничения на длину очереди, т.е. устремить m--> >?, то случаи р < 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

При достаточно большом к вероятностьpk стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q= 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А --л Q -- л следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

Lоч =p2 1-p

а среднее время ожидания по формуле Литтла

Точ = Lоч/А

В пределе р << 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки.

Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем с и м, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

В качестве одной из характеристик СМО используют среднее время Тсмо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена -- среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

Lсмо= m+1 ;2

Тсмо= Lсмо; при p ?1

A тогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием) равно:

Тсмо= m+1 при p ?1 2м

операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.

Для СМО с отказами :

Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:

Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и абсолютная пропускная способности , так и характеристики ожидания.

В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.

Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.

Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует . Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.

Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.

Рассмотрим примеры некоторых СМО.

2.5.1. Многоканальная СМО с отказами

Пример 2.5 . Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.

Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.

Описание состояний:

Все инспекторы свободны;

Занят один инспектор;

Заняты два инспектора;

Заняты три инспектора.

Граф состояний системы приведен на рис. 2.11 .

Рис. 2.11.

На графе: - интенсивность потока грузовых автомобилей; - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.

Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.

Решение

Искомая часть вероятности - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем , используя зависимости (2.2).

Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать относительной пропускной способностью :

Пример 2.6 . Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - . Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.

Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.

Решение

Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.

Поток донесений с интенсивностью можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания . Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.

Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.

Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:

Отношение называют приведенной интенсивностью потока заявок . Физический смысл ее следующий: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

В примере .

В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть . Тогда:

Так как вероятность отказа в обработке донесений составляет более 34 % (), то необходимо увеличить личный состав группы. Увеличим состав группы в два раза, то есть СМО будет иметь теперь шесть каналов, и рассчитаем :

Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.

2.5.2. Многоканальная СМО с ожиданием

Пример 2.7 . На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).

Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.

Решение

Абсолютная пропускная способность , т. е. все, что подходит к переправе, тут же практически переправляется.

Среднее число работающих переправочных средств:

Коэффициенты использования и простоя переправы:

Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.

Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: .

Максимальная длина очереди 15 ед., среднее время пребывания в очереди около 10 мин.

Разделы