Объем шара: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений.

Инструкция

Диаметр окружности или шара, если известны их радиусы, можно найти, зная, что диаметр в два раз превышает радиус. Таким образом, для нахождения диаметра по радиусу, надо величину радиуса умножить на два:
D = 2*R, где R – радиус фигуры.

Диаметр окружности, если известна ее длина, можно найти по формуле:
D = L/пи, где L – длина окружности, пи – постоянная, приблизительно равная 3,14.

Диаметр круга, если известна его площадь, можно найти по формуле:
D = 2*(S/пи)^1/2, где S – площадь круга.

Диаметр шара, если известен его объем, можно найти используя формулу:
D = (6V/пи)^1/3, где V – объем шара.

Если известна площадь поверхности шара, то его диаметр можно определить по формуле:
D = (S/пи)^1/2, где S – площадь поверхности шара.

Окружностью называется геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек этой плоскости находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Заданная точка при этом называется центром окружности , а расстояние, на котором точки окружности находятся от её центра – радиусом окружности . Область плоскости ограниченная окружностью называется кругом.Существует несколько методов расчёта диаметра окружности , выбор конкретного зависти от имеющихся первоначальных данных.

Инструкция

В простейшем случае, если построить окружность радиуса R, то её диаметр будет равен
D = 2 * R
Если радиус окружности не известен, но известна её длина , то диаметр можно вычислить по формуле длины окружности
D = L/П, где L – длина окружности , П – число П.
Так же диаметр окружности можно рассчитать, зная площадь круга ею ограниченной
D = 2 * v(S/П), где S – площадь круга, П – число П.

В частных случаях радиус окружности можно найти, если она описана или вписана в треугольник.
Если окружность вписана в треугольник, то её радиус находится по формуле
R = S/p, где S – площадь треугольника, p = (a + b + c)/2 – полупериметр треугольника.

Для окружности , описанной около треугольника, формула радиуса имеет вид
R = (a * b * c)/4 * S, где S – площадь треугольника.

Источники:

• диаметр круга расчет

Круг - это плоская геометрическая фигура, все точки которой находятся на одинаковом и отличном от нуля удалении от выбранной точки, которую называют центром окружности. Прямую, соединяющую любые две точки круга и проходящую через центр, называют его диаметром . Суммарная длина всех границ двухмерной фигуры, которую обычно называют периметром, у круга чаще обозначается как «длина окружности». Зная длину окружности можно вычислить и ее диаметр.

Инструкция

Используйте для нахождения диаметра одно из основных свойств окружности, которое заключается в том, что соотношение длины ее периметра к диаметру одинаково для абсолютно всех окружностей. Конечно, такое постоянство не осталось не отмеченным математиками, и эта пропорция давно уже получила собственное название - это число Пи (π - первая буква греческих слов «окружность » и «периметр»). Числовое выражение этой константы определяется длиной окружности, у которой диаметр равен единице.

Делите известную длину окружности на число Пи, чтобы вычислить ее диаметр. Так как это число является «иррациональным», то не имеет конечного значения - это бесконечная дробь. Округляйте число Пи в соответствии с точностью результата, которую вам необходимо получить.

Используйте какой-либо калькулятор, чтобы рассчитать длину диаметра, если сделать это в уме не получается. Например, можно воспользоваться тем, который встроен в поисковую систему Nigma или Google - он понимает математические операции, вводимые на «человеческом» языке. Например, если известная длина окружности составляет четыре метра, то для нахождения диаметра можно «по-человечески» попросить поисковик: «4 метра разделить на пи». Но если вы введете в поле поискового запроса, например, «4/пи», то поисковик поймет и такую постановку задачи. В любом случае ответом будет «1.27323954 метра».

Воспользуйтесь программным калькулятором Windows, если вам более привычны интерфейсы с обычными кнопками. Чтобы не искать ссылку на его запуск в глубинных уровнях главного меню системы, нажмите сочетание клавиш WIN + R, введите команду calc и нажмите клавишу Enter. Интерфейс этой программы очень незначительно отличается от обычных калькуляторов, поэтому операция деления длины окружности на число Пи вряд ли вызовет какие-либо затруднения.

Видео по теме

Отрезок, соединяющий две несовпадающие точки, лежащие на одной окружности, называют «хордой», а хорда, проходящая через центр этой окружности, имеет и еще одно название - «диаметр». Такая хорда имеет максимально возможную для этой окружности длину, которую можно вычислить несколькими способами, используя базовые определения и соотношения.

Инструкция

Самый простой способ определения диаметра (D) окружности можно применять в том случае, когда известен радиус (R) круга. По определению радиус - это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на окружности. Из этого вытекает, что диаметр составляют два отрезка, длина каждого из которых равна радиусу: D=2*R.

Используйте для вычисления диаметра (D) соотношение, называемое числом Пи, если вам известна длина периметра (L). Периметр, применительно к кругу, принято называть длиной окружности, а число Пи выражает постоянное соотношение между диаметром и длиной окружности - в евклидовой геометрии деление периметра круга на его диаметр всегда равно числу Пи. Значит, для нахождения диаметра длину окружности вам нужно разделить на эту константу: D=L/π.

Из формулы нахождения площади круга (S) вытекает, что для нахождения диаметра (D) вам следует найти квадратный корень из результата деления площади на число Пи и удвоить полученное значение: D=2*√(S/π).

Если возле круга описан прямоугольник и длина его стороны известна, то ничего вычислять не потребуется - таким прямоугольником может быть только квадрат, а длина его стороны будет равна диаметру круга.

В случае же вписанного в круг прямоугольника длина диаметра будет совпадать с длиной его диагонали. Для ее нахождения при известных ширине (H) и высоте (V) прямоугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как треугольник, образованный диагональю, шириной и высотой будет прямоугольным. Из теоремы вытекает, что длина диагонали прямоугольника, а значит и диаметра окружности, равна квадратному корню из суммы квадратов ширины и высоты: D= √(H²+V²).

Источники:

• площадь круга через диаметр

Прежде чем ответить на вопрос, разберитесь, чем круг отличается от окружности. Для этого проделайте небольшую работу. Сначала нарисуйте на листе бумаги точку, в которую поместите одну ножку циркуля с иглой. Второй ножкой с помощью грифеля ставьте точки до тех пор, пока они не сольются в одну линию – замкнутую кривую. Получилась окружность.

Шар это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра.

Объем шара можно вычислить по формуле:

где V – искомый объем шара , π – 3,14 , R – радиус.

Таким образом, при радиусе 10 сантиметров объем шара равен:

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара . Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

Прежде чем начать изучать понятие шара, что такое объём шара, рассматривать формулы исчисления его параметров, необходимо вспомнить о понятии круга, изучаемом ранее в курсе геометрии. Ведь большинство действий в трехмерном пространстве аналогичны или вытекают из двумерной геометрии с поправкой на появление третьей координаты и третьей степени.

Что такое круг?

Круг - это фигура на декартовой плоскости (изображена на рисунке 1); наиболее часто определение звучит как «геометрическое место всех точек на плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) не превышает некоего неотрицательного числа, называемого радиусом».

Как видим по рисунку, точка О - это центр фигуры, а множество абсолютно всех точек, что заполняют круг, к примеру, А, В, С, К, Е, находятся не далее заданного радиуса (не выходят за пределы окружности, изображенной на рис. 2).

Если радиус равен нулю, то круг превращается в точку.

Проблемы с пониманием

Ученики часто путают эти понятия. Легко запомнить, проведя аналогию. Обруч, который дети крутят на уроках физической культуры, - окружность. Понимая это или запомнив, что первые буквы обоих слов - "О", дети мнемонически будут понимать разницу.

Введение понятия «шар»

Шар - это тело (рис. 3), ограниченное некой сферической поверхностью. Что за «сферическая поверхность», станет ясно из ее определения: это геометрическое место всех точек на поверхности, расстояние от которых до заданной точки (центра) не превышает некоего неотрицательного числа, называемого радиусом. Как видим, понятия круга и сферической поверхности аналогичны, только разнятся пространства, в которых они находятся. Если изобразить шар в двумерном пространстве, мы получаем круг, границей которого является окружность (у шара граница - сферическая поверхность). На рисунке мы видим сферическую поверхность с радиусами ОА = ОВ.

Шар замкнутый и открытый

В векторном и метрическом пространствах также рассматриваются два понятия, связанные со сферической поверхностью. Если шар включает эту сферу в себя, то он называется замкнутым, а если же нет, то в таком случае шар является открытым. Это более "продвинутые" понятия, их изучают в институтах при введении в анализ. Для простого, даже бытового использования будет достаточно и тех формул, которые изучаются в курсе стереометрии 10-11 классов. Именно такие, доступные практически каждому среднестатистическому образованному человеку понятия будут рассмотрены далее.

Понятия, которые нужно знать для следующих вычислений

Радиус и диаметр.

Радиус шара и его диаметр определяются так же, как у круга.

Радиус - отрезок, соединяющий любую точку на границе шара и точку, являющуюся центром шара.

Диаметр - отрезок, соединяющий две точки на границе шара и проходящий через его центр. Рисунок 5а наглядно демонстрирует, какие отрезки являются радиусами шара, а на рисунке 5б изображены диаметры сферы (отрезки, проходящие через точку О).

Сечения в сфере (шаре)

Любое сечение сферы является кругом. Если оно проходит через центр шара, то называется большим кругом (окружность с диаметром АВ), остальные сечения - малыми кругами (окружность с диаметром DC).

Площадь данных кругов вычисляется по следующим формулам:

Здесь S - это обозначение площади, R - радиуса, D - диаметра. Также присутствует константа, равная 3,14. Но не стоит путать, что для исчисления площади большого круга используют радиус или диаметр самого шара (сферы), а для определения площади требуются размеры радиуса именно малой окружности.

Таких сечений, которые проходят через две точки одного диаметра, лежащих на границе шара, можно провести бесчисленное число. Как пример - наша планета: две точки на Северном и Южном полюсах, которые являются концами земной оси, а в геометрическом смысле - концами диаметра, и меридианы, которые проходят через эти две точки (рисунок 7). То есть число больших кругов у сферы по количеству стремится к бесконечности.

Части шара

Если отсечь от сферы при помощи некоторой плоскости «кусочек» (рисунок 8), то он будет называться сферическим или шаровым сегментом. У него будет высота - перпендикуляр из центра секущей плоскости до сферической поверхности О 1 К. Точка К на сферической поверхности, в которую приходит высота, называется вершиной сферического сегмента. А малый круг с радиусом О 1 Т (в данном случае, согласно с рисунком, плоскость не прошла через центр сферы, но если сечение будет проходить через центр, то круг сечения будет большим), образованный при отсечении шарового сегмента, будет называться основанием нашего кусочка шара - сферического сегмента.

Если соединить каждую точку основания сферического сегмента с центром сферы, мы получим фигуру под названием "шаровой сектор".

Если через сферу проходят две плоскости, которые между собой параллельны, то та часть сферы, которая заключена между ними, называется шаровым слоем (рисунок 9, где изображена сфера с двумя плоскостями и отдельно - шаровой слой).

Поверхность (выделенная часть на рисунке 9 справа) этой части сферы называется поясом (снова для лучшего понимания можно провести аналогию с земным шаром, а именно с его климатическими поясами - арктическими, тропическими, умеренными и т. д.), а круги сечения будут основаниями шарового слоя. Высота слоя - часть диаметра, проведённого перпендикулярно к секущим плоскостям из центров оснований. Существует также понятие шаровой сферы. Она образуется в том случае, когда плоскости, которые параллельны друг другу, не пересекают сферу, а касаются ее в одной точке каждая.

Формулы исчисления объёма шара и площади его поверхности

Шар образуется при вращении вокруг неподвижного диаметра полукруга или круга. Для вычислений разных параметров данного объекта понадобится не так уж много данных.

Объем шара, формула для исчисления которого указана выше, выведен посредством интегрирования. Разберемся по пунктам.

Рассматриваем круг в двумерной плоскости, ведь, как было сказано выше, именно круг лежит в основе построения шара. Используем лишь его четвертую часть (рисунок 10).

Берем круг с единичным радиусом и центром в начале координат. Уравнение такого круга выглядит следующим образом: Х 2 + У 2 = R 2 . Выражаем отсюда У: У 2 = R 2 - Х 2 .

Обязательно отметим, что полученная функция неотрицательная, непрерывная и убывающая на отрезке Х (0; R), ведь значение Х в том случае, когда мы рассматриваем четверть круга, лежит от нуля до значения радиуса, то есть до единицы.

Следующее, что мы делаем, это вращаем нашу четверть круга вокруг оси абсцисс. В результате мы получим полушар. Чтобы определить его объём, прибегнем к методам интегрирования.

Так как это объём лишь полушара, увеличиваем результат в два раза, откуда получаем, что объем шара равен:

Мелкие нюансы

Если необходимо вычислить объем шара через его диаметр, помним о том, что радиус - это половина диаметра, и подставляем это значение в вышеуказанную формулу.

Также к формуле объема шара можно дойти через площадь его граничащей поверхности - сферы. Напомним, что площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πr 2 , проинтегрировав которую, также придем к вышеуказанной формуле объема шара. Из этих же формул можно выразить радиус, если в условии задачи есть значение объема.

Инструкция

В повседневной жизни зачастую возникает необходимость вычислить площадь шаровой поверхности или его части, чтобы рассчитать, например, расход материала. Вычислив объем шара , вы можете через удельный вес рассчитать массу вещества, составляющего содержимое сферы. Для того чтобы найти площадь и объем шара , достаточно знать его радиус или диаметр. По формулам, которые сегодняшние школьники выводят в 11 классе общеобразовательной школы, вы легко можете рассчитать эти параметры.

Например, диаметр футбольного мяча, согласно всем требованиям ФИФА, должен быть в пределах 21,8-22,2 см. Усредните для простоты счета до 22 см. Следовательно, радиус (R) будет равен (22:2) – 11 см. Ведь интересно узнать, какова площадь поверхности футбольного мяча?

Возьмите формулу площади поверхности шара : Sшара = 4ттR2Подставьте в приведенную формулу значение радиуса футбольного мяча – 11 см.S = 4 x 3.14 x 11х11 .

После проведения несложных математических действий вы получаете результат: 1519.76. Таким образом, площадь поверхности футбольного мяча составляет 1 519.76 квадратных сантиметров.

Теперь рассчитайте объем мяча. Берите формулу расчета объема шара : V = 4/3ттR3Подставляйте опять же значение радиуса футбольного мяча – 11 см.V = 4/3 x 3.14 x 11 х 11 х 11.

После подсчетов, например, на калькуляторе вы получаете: 5576.89.Оказывается, объем воздуха в футбольном мяче составляет 5 576.89 кубических сантиметров.

Шар - это простейшая объемная геометрическая фигура, для указания размеров которой достаточно всего одного параметра. Границы этой фигуры принято называть сферой. Объем пространства, ограничиваемого сферой, можно вычислить как с помощью соответствующих тригонометрических формул, так и подручными средствами.

Инструкция

Используйте классическую формулу объема (V) сферы, если из условий известен ее радиус (r) - возведите радиус в третью степень, умножьте на число Пи, а результат увеличьте еще на треть. Записать эту формулу можно так: V=4*π*r³/3.

Если есть возможность измерить диаметр (d) сферы, то поделите его пополам и используйте как радиус в формуле из предыдущего шага. Или найдите одну шестую часть от возведенного в куб диаметра, умноженного на число Пи: V=π*d³/6.

Если известен объем (v) цилиндра, в который вписана сфера, то для нахождения ее объема определите, чему равны две трети от известного объема цилиндра: V=⅔*v.

Если известна средняя плотность (p) материала, из которого состоит сфера, и ее масса (m), то этого тоже достаточно для определения объема - разделите второе на первое: V=m/p.

Воспользуйтесь какими-либо мерными емкостями в качестве подручных средств для измерения объема сосуда сферической формы. Например, наполните его водой, измеряя с помощью мерной емкости количество заливаемой жидкости. Полученное значение в литрах переведите в кубические метры - эта единица принята в международной системе СИ для измерения объема. В качестве коэффициента перевода из литров в кубометры используйте число 1000, так как один литр приравнен к одному кубическому дециметру, а их в каждый кубический метр вмещается ровно тысяча штук.

Используйте принцип измерения, противоположный описанному в предыдущем шаге, если тело в форме сферы нельзя наполнить жидкостью, но можно погрузить в нее. Заполните мерный сосуд водой, отметьте уровень, погрузите измеряемое сферическое тело в жидкость и по разнице уровней определите количество вытесненной воды. Затем переведите полученный результат из литров в кубометры так же, как это описано в предыдущем шаге.

Видео по теме

Источники:

• объем полусферы

Ремонт, переезд, покраска объекта – все это потребует вычисления площади . Не грех вспомнить школьную программу.

Инструкция

Если фигуру можно разбить на части, которые будут являться простыми фигурами, то площадь такой фигуры будет равна сумме площадей ее частей

Площадь квадрата со стороной, которая равна единице измерения, равна единице

Равные фигуры обладают равными площадями
Из этих правил следует, что площадь это не конкретная величина, то есть площадь дает только условную характеристику какой-либо фигуре. Когда необходимо найти площадь произвольной фигуры, то нужно вычислить, сколько квадратов со стороной (которая равняется единице), эта фигура в себя может вместить.

Пример:
Возьмем фигуру – прямоугольник , такой, в котором квадратный сантиметр укладывается в шесть раз. Тогда площадь такого прямоугольника будет равняться – 6 см2.
Если взять более сложную фигуру, например, трапецию, то получится что: Если трапеция такой величины, что квадратный сантиметр укладывается в нее только два раза, а третья часть не влезает целиком и остается небольшой треугольник . Чтобы измерить площадь этого оставшегося треугольника нужно применить к нему доли квадратного сантиметра, можно взять миллиметр. Правда, этот способ для сложных фигур не очень удобный. Поэтому для вычисления площади разных фигур существуют различные формулы . Если нужно вычислить площадь конкретной фигуры, то можно взять учебник по геометрии и вспомнить материал, который когда-то проходили в школе.
Так, формула площади куба: площадь куба равна числу граней умноженное на площадь грани, т.е. 6 * a2

Видео по теме

Источники:

• Как вычисляется площадь окрашиваемой поверхности оконных

Все планеты солнечной системы имеют форму шара . Кроме того, шарообразную или близкую к таковой форму имеют и многие объекты, созданные человеком, включая детали технических устройств. Шар, как и любое тело вращения, имеет ось, которая совпадает с диаметром. Однако это не единственное важное свойство шара . Ниже рассмотрены основные свойства этой геометрической фигуры и способ нахождения ее площади.

Инструкция

Если взять полукруг или круг и провернуть его вокруг своей оси, получится тело, называемое шаром. Иными словами, шаром называется тело, ограниченное сферой. Сфера представляет собой оболочку шара , и ее сечением является окружность. От шара она отличается тем, что является полой. Ось как у шара , так и у сферы совпадает с диаметром и проходит через центр. Радиусом шара называется отрезок, проложенный от его центра до любой внешней точки. В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет большинство планет и небесных тел. В разных точках шара имеются одинаковые по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения - круги разной площади.

Цели урока:

образовательные:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Тела вращения”;
• вывести формулу объема шара.

Воспитательные:

• показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;
• показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.

Развивающие: совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Оборудование: учебник геометрии 10–11класс, автор Л.С. Атанасян; компьютер; мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация .

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.

1. Цилиндр.
2. Конус.
3. Усеченный конус.

2) Проверка творческой домашней работы . Презентации учащихся по решению задач с открытого банка ЕГЭ, типа В9.

III. Изучение новой темы.

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.)

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).

Теорема: Объем шара равен

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять объемы тел с помощью интегральной формулы. V=

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.

(Учитель объясняет вывод формулы объема шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях.)

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис. 178).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим

Так как S(x)=пr 2 ,то S(x)=п(R 2 -x 2).

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

Физкультминутка (для глаз).

IV. Формирование умений и навыков учащихся.

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Задача (Архимеда ):

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти: отношение объемов цилиндра и шара.

Ответ: 1,5.

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде. )

Задачи из ЕГЭ (В9):

1. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение: (Опираемся на открытие Архимеда. )

2. Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара S 1 = 4пR 2 , стала S 2 = 4пR 2 /9 = 4п (R/3) 2 = 4пr 2

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V 1 = 4/3 ПR 3 , а объем V 2 = 4/3 пr 3 = 4/3 п(R/3) 3 =4/3 пR 3 /27 = V 1 / 27.

V. Итог урока.

Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

Домашнее задание.

П.71 № 712, II уровень №714 с презентацией.