Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. Основные тригонометрические формулы. Далее следуют формулы сложения и вычитания углов

В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

1. Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества .

Тригонометрическое тождество - это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

Формулы двойных, тройных и половинных углов

Сначала мы имеем основные тождества. Это ваши основные определения ваших шести функций. Вторая группа называется пифагорейскими тождествами. Следующая группа называется суммой углов и разностными тождествами. Они расскажут вам, как вы можете разрушить триггерную функцию, которая включает сложение или вычитание двух углов.

Четвертая группа называется двуугольными тождествами. Они расскажут вам, как вы можете упростить функцию триггера, где угол удваивается. Пятая группа называется полуугольными тождествами. Подобно идентификаторам с двойным углом, они расскажут вам, как вы можете упростить функцию триггера, где ваш угол уменьшен вдвое.

Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:

Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.



Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

Для шестой группы мы имеем то, что называется суммой к идентификаторам продукта. Эти тождества показывают вам, как преобразовать сумму или разность двух триггерных функций в произведение двух триггерных функций. Седьмая и последняя группа называется продуктом для суммирования тождеств. Как и предыдущая группа, они показывают, как вы можете перейти от произведения двух триггерных функций к сумме или разности двух триггерных функций.

То, что вы видели до сих пор, - это всего лишь небольшая выборка всех триггерных идентичностей. Но, если вы можете запомнить их, то вы на своем пути становитесь экспертом по триггерам, потому что это наиболее часто используемые тождества в тригонометрии.

(ВС) 2 + (АС) 2 = (АВ) 2

Теперь разделим на (АВ) 2 обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

(ВС) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

Для этого обе части второго тождества разделим на cos 2 x:

Как эти идентичности используются? Хорошо, вы будете использовать их при решении проблем на тестах. Вы столкнетесь с проблемами, которые просят вас вспомнить конкретную личность. Вам также будет предложено упростить задачу триггера, заменив эти идентификаторы. И вам будет предложено доказать различные триггерные утверждения с помощью этих тождеств.

Итак, вам нужно будет связать свои знания об этих тригонометриях с навыками решения проблем с алгеброй для успешного ответа на эти вопросы. Математики также используют эти тригонные тождества в своих вычислениях в высшей математике для решения проблем, связанных с интеграцией.

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

1 + tg 2 x = 1/cos 2 x

Теперь разделим второе тождество на sin 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x есть не что иное, как 1/tg 2 x, поэтому получаем четвертое тождество:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 180 0 . Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 180 0 – 90 0 – х = 90 0 – х.

Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Вы хотите увидеть пример проблемы? «Что означает грех?». Ну, мы можем решить эту проблему, подставив в один из наших основных тождеств. У нас есть синусоидальная функция и косекантная функция. Когда мы это делаем, мы видим, что синусы отменяют друг друга. Поэтому наш ответ прост и легко.

Далее следуют формулы сложения и вычитания углов

Давайте рассмотрим, что мы изучили до сих пор. Тригонометрические тождества являются истинными утверждениями о тригонометрических функциях. Если мы сравним их с определениями, мы увидим, что у нас много тригонометрических тождеств, как и множество определений. У нас также есть категории или группы, как и определения. У нас есть семь групп тождеств, которые наиболее часто используются.



Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Теперь выполним следующее:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Как видите – здесь все элементарно.

Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.

Основные тождества Пифагорейские тождества Тождества углов и разности тождеств Тождества двойного угла Тождества полуугольника Сумма к тождествам продукта Произведение суммы сумм тождеств. Вы будете использовать эти идентификаторы, чтобы помочь вам упростить и доказать проблемы с запуском.

Следуя этому уроку, вы сможете. Определение тригонометрических тождеств Опишите семь наиболее распространенных групп тригонометрических тождеств и их использование. Решите задачи с использованием тождеств. . Поскольку вопросы плоской геометрии рассматриваются тригонометрически, говорят о плоской тригонометрии; Кроме того, существует сферическая тригонометрия, которая касается сферических треугольников и гиперболической тригонометрии. Следующие утверждения в основном касаются поля плоской тригонометрии.




2. Выражения тригонометрических функций друг через друга

   (выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол?)





Основной задачей тригонометрии является вычисление других размеров этого треугольника из трех размеров данного треугольника. В качестве вспомогательных средств используются тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканцы. Однако тригонометрические вычисления могут также относиться к более сложным геометрическим объектам, таким как многоугольники, проблемы стереометрии и многие другие проблемы.

Тригонометрия в правом треугольнике

Особенно проста - тригонометрия правого треугольника. Так как сумма углов треугольника равна 180 °, правый угол такого треугольника является наибольшим внутренним углом. Он стоит перед самой длинной стороной. Две более короткие стороны треугольника называются катетерами. Если один относится к одному из двух меньших углов, имеет смысл различать встречный катетер и соседний катетер.



3. Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:



4. Формулы двойных, тройных и половинных углов.

   Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

sin 2х =2sin х*cos х

cos 2х =cos 2 х -sin 2 х =1-2sin 2 х =2cos 2 х -1

Не совсем очевидно, что эти определения имеют смысл. Из рассматриваемого треугольника, а именно, известны только размеры углов, но не длины сторон. Различные прямоугольные треугольники с заданным углом, в конце концов, похожи друг на друга, так что они согласуются в их пропорциях. Например, один из этих треугольников может быть в два раза длиннее другого. В этом случае фракции упомянутых уравнений определения будут иметь одинаковые значения. Эти значения зависят только от заданного угла. По этой причине имеет смысл говорить о функциях углов.

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3х =3sin х - 4sin 3 х

cos3х =4cos 3 х - 3cos х

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)







Пример: вычисление длины страницы

Следующие численные значения округляются.

Пример: вычисление угла

Поэтому имеет смысл использовать касательную функцию. Хотя в последнем примере значение косинуса должно быть рассчитано для известного угла, здесь ситуация меняется на противоположную. Из известного касательного значения связанного угла следует определить. Для этого требуется обратная функция касательной функции, так называемая арктангенс-функция.

Определение тригонометрических функций на единичной окружности

Используемые до сих пор определения полезны только для углов ниже 90 °. Однако для многих целей интерес к тригонометрическим значениям больших углов. Единичный круг, который представляет собой круг с радиусом 1, допускает такое расширение предыдущего определения. Для данного угла определяется соответствующая точка на единичном круге.



5. Формулы преобразования тригонометрических выражений:







Можно видеть, что для углов между 90 ° и 270 ° координата х и, следовательно, и косинус отрицательны, соответственно для углов между 180 ° и 360 ° координатой у и, следовательно, синусом. Даже при углах больше 360 °, а также отрицательных углов определение может быть легко перенесено. Обратите внимание, что в современном подходе для определения угла используется соотношение между углом и синусом или косинусом. Функции синуса и косинуса вводятся через их последовательное представление.

Тригонометрия в общем треугольнике

Остальные четыре тригонометрические функции определяются.


Также для общих треугольников было разработано несколько формул, позволяющих определить неизвестные длины сторон или угловые размеры. В частности, здесь следует упомянуть теорему синуса и теорему о косинусах. Использование набора Синуса.

Взаимосвязь основных тригонометрических функций, каких как косинус и синус, тангенс и котангенс - называется формулы тригонометрии . Из-за того что взаимосвязей очень большое количество, соответственно и формул не меньше. Часть формул объединяет тригонометрические функции в зависимости от угла, который может быть либо кратным, либо одинаковым. Так же может выражаться от тангенса половинного угла. Так же через понижение степени.
Мы разберем самые основные из тригонометрических формул. С помощью которых можно решить большинство тригонометрических заданий. Для большего удобства объединим их по значению, по таблицам.

Начнем с тригонометрических тождеств.

Основы в тригонометрических тождествах определяют взаимосвязь косинуса и синуса, тангенса и котангенса в одном угле. И выходят из их определения и единичной окружности. Дают возможность выделить через любую функцию другую.

Далее рассмотрим тригонометрические формулы приведения.

Они вытекают из свойств синусов, косинусов, котангенсов и тангенсов. Тем самым выражают такие свойства функции как: периодичность, симметричность и сдвиг к рассматриваемому углу. так же дают возможность работать с углами в радиусе до 90 градусов и произвольные углы.

Формулы на сложение.

Из данных формул видно что функции на сумму или разность от 2 углов выводятся из их же тригонометрических функций. Так же являются основой для формул двойных, тройных и других углов.

Формула для двойных, тройных и других углов.



Из них видно что тригонометрическая функция двойного, тройного или какого то ни было угла выводится из т.ф. одинарных углов.

Так же как и одинарные, двойные, тройные и т.д. существуют и половинные углы

Так же существуют методы понижения степени выглядят они как:




С помощью их использования возможно понизить функцию до первой степени. Взаимодействуя с натуральными степенями функций переводить до синусов и косинусов только кратных углов, в первую степень.

Сумма и разность в тригонометрической функции.



Помогают упростить тригонометрическое выражение, и разложить на множители синусы и косинусы.

Произведение синуса, косинуса, и одно на другое.


Метод универсальной тригонометрической подстановки.

Такая подстановка удобна тем, что функции получаются без корней.

Заметка: Актуальные предложения, участие в тендерах на строительство бесплатное! Перейдите по ссылке строительно монтажные тендеры (http://www.b2bsearch.ru/tenders/stroy) узнайте подробнее.

Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете