Площадь многоугольника по сторонам онлайн. Как найти площадь пятиугольника. Вычисление площади многоугольников разными способами
Цель:
- закрепить понятие площади.
- вывести формулу площади правильного многоугольника.
- провести лабораторно-исследовательскую работу на тему: “Какой многоугольник имеет наибольшую площадь”.
Ход урока
Устно(5-7 минут). 1. Какая фигура изображена на рисунке? (многоугольник)
Обсуждается с классом, что уже известно о многоугольниках:
Задача лингвистически очень проста и четко сформулирована, а этапы работы представлены в их последовательности понятным языком. Лингвистическая сложность соответствует уровню 0. Нет четкого решения поставленной задачи. Конструкция, а также обоснование могут быть сделаны по-разному. Для обеих частей необходимо учитывать различные геометрические отношения и ограничения и применять различные эвристические стратегии. Это дает понять, что когнитивная сложность находится на уровне 2.
В описываемой задаче формализация включает в себя математическое схватывание и «перевод» основной инструкции в геометрические объекты и иллюстрации. Эта формализация никоим образом не дается, но должна быть разработана с нуля независимо. Точно так же рассуждение математически формализовано. Задача состоит в классификации знаний на уровне 2.
а) какая фигура называется многоугольником;
б) виды многоугольников (выпуклый, невыпуклый, правильный, неправильные)
Определить на каждом рисунке вид многоугольника.
- В какую фигуру обычно вписывают многоугольники? (0кружность).
- Какой многоугольник называется вписанным? (Если все его вершины являются точками окружности).
- Какой многоугольник называется описанным? (Если все стороны многоугольника касаются окружности).
Мы уже на протяжении нескольких уроков изучаем площади различных четырехугольников и треугольника, а на этом уроке рассмотрим общий случай.
На алгебраической плоскости в этой задаче можно вычислить и сравнить только разные угловые величины. Таким образом, обработка формулы сложна на уровне 0. В принципе, задача решения математических задач может быть выполнена в четыре этапа. В качестве базовой помощи эта последовательность шагов может быть предоставлена СуС, чтобы предоставить им первую базовую структуру для решения математических задач. Первый шаг - понять и проанализировать задачу. В частности, мы имеем следующую поддержку.
Второй шаг включает разработку плана или стратегии решения в течение третьей части, а затем выполнение плана. Для обеих частей мы обеспечиваем поддержку на разных уровнях по мере необходимости. В принципе, во-первых, должна быть выбрана общая стратегическая поддержка. Содержание СПИДа обычно следует использовать только тогда, когда общая стратегическая и связанная с содержанием поддержка не смогла помочь СуС.
Как вычислить площадь произвольного многоугольника? Как вы думаете, площадь какого многоугольника проще всего посчитать?
Предлагаю изобразить невыпуклый, выпуклый неправильный, выпуклый правильный пятиугольник.
Невыпуклый пятиугольник разбили на два разных треугольника, надо считать площадь каждого треугольника и складывать.
Когда эти четыре станции пройдены, важно предоставить СуС - насколько это касается индивидуального уровня производительности, а также личные недостатки и сильные стороны - с наиболее подходящей поддержкой. Они должны быть сведены к тому, что наиболее необходимо для поддержания максимально возможной степени автономии в преподавательской работе СуС.
Представленные здесь предложения представляют собой лишь небольшой выбор многих возможностей, которые, конечно же, могут быть дополнены. Для реализации задачи в классе возможны различные социальные формы. В принципе, задача может быть решена в индивидуальной работе. Было бы также целесообразно, чтобы партнерская работа для двух СуС была способна вместе советовать. По этой причине особенно важно избегать совместной работы с самого начала.
Выпуклый неправильный пятиугольник Аналогичное решение.
Правильный пятиугольник разбивается на равные треугольники. Достаточно найти площадь одного треугольника и умножить на их количество.
Значит проще всего находить площадь правильного многоугольника.
Но ученые не остановились на этом, они вывели формулу площади для правильного многоугольника. Эту теорему мы сейчас докажем.
Затем они вступают в партнерскую работу, в которой они обмениваются идеями и идеями друг с другом. В заключение и независимо от социальной формы задача должна обсуждаться со всем классом, чтобы в конечном итоге все знали о возможном решении и понимали проблему. Кроме того, следует следить за тем, чтобы результаты были получены. Собранные знания должны быть записаны в степлере, написанном рукописью, так что они также доступны после работы на компьютере.
Информация для учеников с низким уровнем знаний
Варианты Дифференциация. Шаблоны для работы с такими инструкциями. Если вы не распространяете инструкции по сворачиванию в целом, но всегда только шаг за шагом, вы сможете предлагать очень целенаправленные и дифференцированные варианты помощи, которые предлагают учащимся только одно решение для текущей проблемы, не раскрывая весь дизайн. Затем они должны их восстановить и восстановить. Здесь также можно снова предлагать части вспомогательных предметов, что позволяет работать независимо. Например, на первых этапах строительства уже представлены основные понятия для задачи, такие как центрально-правое, угловое деление пополам или построение центра квадрата, и, таким образом, доступны в качестве инструмента для дальнейшей процедуры.
Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности.
Дано: А 1 …….А n - многоугольник правильный,
А 1 А 2 =А 2 А 3 =………=А n-1 А n ,
Все углы равны.
Доказать: S = Pr
Доказательство:
Правильный многоугольник делится на равные равнобедренные треугольники.
Шаблоны для обработки инструкции по сгибанию. Тем не менее, основная математическая проблема до сих пор не затрагивалась во всех этих вспомогательных средствах, что также позволяет дифференцировать контент-стратегический контент или контент. Как дифференцирование на этом уровне может быть сформировано, уже было рассмотрено в контексте вспомогательных материалов.
Информация для более влиятельных учеников
Возможно удовлетворить потребности высококвалифицированных учеников, предоставляя как можно меньше, и тем самым они могут как можно больше справиться с проблемой, так как задача очень сложная из-за ее когнитивной сложности и необходимой эффективности формализации.
Рассмотрим треугольник A 1 OA 2: угол А 1 ОА 2 - центральный (как его вычислить?) .
Все треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Найдем площадь треугольника. Для этого проведем высоту. Эта высота будет радиусом вписанной окружности. Так как треугольники равнобедренные, то высота является медианой и биссектрисой.
S= h A 1 A n. Всего треугольников N штук.
Таким образом, показано, что, изменяя характер и объем вспомогательных назначений и в зависимости от того, сколько вы хотите притворяться, задача может быть использована в преподавании очень по-разному. Эта задача затрагивает разные математические области. Его можно использовать особенно хорошо в контексте изучения геометрических фигур или объектов и их отношений.
Обработка этой задачи облегчает понимание геометрических объектов и их отношений. Кроме того, СуС должен разработать свою собственную линию аргументационных структур и «структур доказательств», чтобы обосновать свои исследования логически и понятным образом.
S= hА 1 А 2 n=Pr. Что и требовалось доказать
Вопросом о вычислении площади люди заинтересовались ещё с древнейших времен. Наиболее известная задача - это задача Дидоны.
Финикийская царица Дидона спасалась от своего брата, тирана Пигмалиона. Она отплыла из города Тира в 825 году до нашей эры. После долгого путешествия корабль пристал к берегам Африки. Дидоне понравилась земля. Она обратилась к местному предводителю нумидийцев Ярбу с просьбой продать кусок земли. Ярб заломил баснословную цену за клочок земли, который можно окружить бычьей шкурой. Но Дидона не растерялась и согласилась. Она расплатилась и отправилась отмерять землю. Сначала она разрезала шкуру так, что получился тонкий кожаный ремешок. Этим ремешком она окружила солидный участок земли, на котором обосновала впоследствии великий город Карфаген. Ярб был в ярости, так как его одурачили, но он был честным человеком и сдержал слово. Так гласит легенда. Но карфагенская цитадель называлась Бирса, что значит “бычья шкура”.
Основным предварительным условием для этой задачи является наличие достаточного количества компьютеров с программным обеспечением для динамической геометрии, позволяющих студентам работать независимо. Каков апофеоз пентагона? В регулярном многоугольнике он называется апофеозом на расстоянии любой из его сторон до центра фигуры. Благодаря этому легко получить, насколько апофеоз правильного многоугольника применяет пару формул, которые мы автоматически вычисляем для вас.
Как получить апофеоз пентагона
Первый метод расчета апофеоза
Первый из них выглядит следующим образом. Второй метод получения апофеоза. Значение центрального угла можно рассчитать, разделив его на 360 ° между количеством сторон многоугольника. Например, если у нас есть пятиугольник в 5 сантиметров стороны, значение его апофеоза будет.Итак, какую задачу так блестяще решила Дидона? Эта задача звучит так: “Какую наибольшую площадь можно окружить веревкой заданной длины?”
В геометрии эта задача звучит так: Какая геометрическая фигура с одинаковым периметром имеет наибольшую площадь?
Попытаемся и мы ответить на этот вопрос.
Проведем лабораторно-исследовательскую работу.
Область пятиугольника и его апофеоз связаны между собой, так что для вычисления площади пентагона мы должны знать его значение, как видно из следующей формулы. Если мы не знаем значения апофеоза и не хотим его вычислять, мы можем применить эту другую формулу для вычисления площади регулярного пятиугольника.
Если у вас есть какие-либо вопросы о том, как получить апофеоз или рассчитать площадь регулярного пятиугольника, оставьте нам комментарий, и мы решим ваши проблемы как можно скорее. Исправлены проблемы, которые были отсортированы с незначительной до большой сложности.
- Описание регулярного пентагона.
- Задача 6 демонстрирует формулу области.
Класс разбивается на три группы. Каждая группа выбирает себе один из видов треугольника (разносторонний, равнобедренный, равносторонний). Р = 18см.
Задание каждой группе: вычислить площадь треугольника.
Здесь очень важно обратить внимание учеников на составление треугольника с данным периметром. (Должно выполняться условие, чтобы треугольник существовал, надо, чтобы сумма двух сторон были больше длины третьей стороны).
Вычислите область пятиугольника предыдущей задачи. Чтобы рассчитать площадь, нам нужна длина сторон и апофеоз. Нам нужно применить формулу области. Тогда площадь пентагона составляет 86 см 2. Примечание: не забудьте написать квадраты единиц, потому что они являются единицами площади.
Если площадь регулярного пятиугольника составляет 5 м 2, а его апофеоз составляет 17 м, насколько измеряются его стороны? Поскольку пятиугольник является регулярным, его площадь определяется по формуле. Поскольку мы знаем, что площадь составляет 5 м 2 и что апотема измеряет 17 м, заменяя предыдущую формулу, мы имеем.
Пример. 1. Разносторонний треугольник. Р=18см.
а = 3, б = 8, с = 7, тогда S== =
Может возникнуть вопрос: выполняется ли это для четырехугольников?
Учащимся предлагается тем же способом провести исследование для параллелограмма, прямоугольника, квадрата.
Пример1. Параллелограмм. Р=20см.
АВ= 1см, ВС= 9см, /_В= 30°, тогда S= 1*9*sin30°= 9*0,5=4,5см 2
Поскольку площадь находится в квадратных метрах, полученные измерения находятся в метрах. Тогда стороны меры пятиугольника 71т. Формула площади пентагона. Из формулы мы знаем только апофеоз. Поэтому имеем уравнение. Отсюда мы можем очистить сторону. Теперь мы можем рассчитать площадь пятиугольника.
Тогда площадь пентагона составляет 75 м 2. Чтобы вычислить периметр, нам нужно вычислить сторону пентагона. Диаметр в два раза превышает радиус окружности, поэтому радиус равен. Радиус совпадает с отрезком, соединяющим вершину пятиугольника с центром.
АВ= 2см, ВС= 8см, угол В=30°, тогда S= 2*8*sin30°= 16*0,5=8см 2
АВ= 3см, ВС=7см, угол В=30°, тогда S= 3*7*sin30°=21*0,5=10,5см 2
АВ=4см, ВС=6см, тогда S= 4*6*sin30°= 24*0,5=12см 2 .
Пример2. Прямоугольник. Р= 20см.
А= 1см, В= 9см, тогда S=9*1=9см 2 или
А= 2см, В= 8см, Тогда S= 2*8=16см 2 или
А=3см, В= 7см, тогда S= 3*7=21см 2 или
А= 4, В= 6, тогда S= 4*6=24см 2
Пример3. Квадрат. Р=20см.
Затем сторона пентагона измеряет 3 метра и, следовательно, его периметр составляет 15 метров. Покажите, что формула области регулярного пятиугольника. Глядя на фигуру, мы можем сделать вывод, что площадь обычного пятиугольника в пять раз больше площади красного треугольника.
Основание треугольника совпадает со стороной пятиугольника, и его высота совпадает с апофеозом. Умножая на 5, получим площадь пентагона. Длина апофеоза правильного пятиугольника зависит от стороны пятиугольника. Это означает, что не может быть двух правильных пятиугольников, чьи стороны измеряют одно и то же, но их апотемии нет.
А= 5см, тогда S=5*5=25см 2
Вывод: здесь мы видим ту же картину наибольшая площадь у правильного четырехугольника то есть у квадрата.
Учащиеся делают заключение: наибольшую площадь будет иметь правильный многоугольник.
А если у этого многоугольника бесконечно много сторон, то он будет похож на окружность. Следовательно, максимальную площадь занимает круг. Как посчитать площадь круга вы узнаете на следующем уроке.
Найдите выражение, основанное на стороне для длины апофеоза. На рисунке изображен апофеоз и сторона пентагона. На рисунке показан один из углов треугольника. Этот показатель составляет 54 °, так как он составляет половину одного из внутренних углов пентагона.
Торжественное мероприятие на Лазурном берегу! Магазины в разных районах. Театр зелени, музыкальные фонтаны. Прогуляйтесь по реке Мальван. Требуется регистрация в Туристическом бюро - цена: 195 руб. Трехъязычные хосты и хостесс, кресло-коляска. Равной ширины, равной 108 °.
В этой форме мы сосредоточимся на определении и формулах пятиугольника, в частности, на регулярном пятиугольнике. Мы сообщим обо всех формулах, которые могут быть использованы в школьных и средних школах, с особым упором на обратные формулы для расчета апотемии и пятиугольной области, включая специальные формулы для вписанной окружности и описанные в пятиугольнике.
Многоугольник или полигон - геометрическая фигура, которая имеет n-ное количество углов. В общем случае многоугольник - это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломанной.
Геометрия многоугольников
В целом такая геометрическая фигура может иметь абсолютно любой вид. К примеру, символы звезды и компаса, полигон для моделирования или грань шестеренки - многоугольники. Многоугольные фигуры разделяются на две группы:
Кроме того, мы перечислим основные свойства. Мы уже ожидали определения пятиугольника и определения регулярного пятиугольника. Тем не менее, поскольку он повторил иовант. Пентагон представляет собой пятигранный многоугольник и может быть простым или сложным многоугольником, вогнутым или выпуклым.
Размер поверхности плоской фигуры зависит, в некотором смысле, от относительной длины контура. Таким образом, р. например. площадь квадрата является шестнадцатой частью второй степени ее периметра. В любом случае, подобные цифры плоскостей пропорциональны квадратные области относительных контуров и коэффициент пропорциональности зависит от формы фигуры считается, так что ничего точного можно сказать о зоне плоской формы, когда она известна только длина граница.
- невыпуклые, которые имеют любую причудливую форму с возможными самопересечениями (самый очевидный пример - звезда);
- выпуклые, все точки которых находятся по одну сторону от прямой, проведенной через две соседние вершины (квадрат, треугольник).
Выпуклый полигон, у которого все углы равны и все стороны равны, считается правильным и имеет собственное название. К примеру, правильный пятиугольник называется пентагон, шести - гексагон, восьмиугольник - октагон, десятиугольник - декагон, одиннадцатиугольник - гендекагон, двенадцати - додекагон. Любой правильный многоугольник имеет свою вписанную и описанную окружность. При этом круг также можно представить как правильный полигон, который имеет бесконечное количество углов.
Многоугольники в реальности
Невыпуклые многоугольники практически не распространены в реальной жизни: они довольно редко встречаются в природе, а в рукотворном виде она выступают в роли граней деталей машин. Многие морские организмы обладают пентасимметрией, и наиболее очевидным примером невыпуклой фигуры является морская звезда.
Правильные геометрические фигуры наоборот широко встречаются в природе. Наиболее очевидным примером являются пчелиные соты, каждая ячейка которых представляет собой гексагон. Такие гексагональные ячейки позволяют маленьким труженицам наиболее экономно использовать площадь улья, заполняя пространство без просветов. Кроме того, многие простейшие организмы, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.
Площадь многоугольника
Площадь геометрической фигуры - это характеристика плоского объекта, которая показывает его размер. Площадь невыпуклых многоугольников находится путем разбиения фигуры на более мелкие составляющие, обычно треугольники или квадраты. Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять площадь только правильных многоугольников, которая определяется общей формулой:
S = n/4 × a^2 × ctg(pi/n),
где n - количество сторон фигуры, a - длина стороны.
Подставляя вместо n количество сторон фигуры можно получить формулу для определения площади любого правильного полигона, которая будет представлять собой площадь квадрата a^2, умноженного на определенный коэффициент. Интересно, что при увеличении количества углов этот коэффициент также будет увеличиваться, к примеру, для пентагона - 1,72, а гексагона - 2,59.
Так как около любого правильного полигона можно описать окружность или вписать ее в него, мы можем использовать соответствующие радиусы для вычисления площадей многоугольников. Сторона и радиус описанной окружности для любого полигона соотносятся как:
a = R × 2 sin (pi/n),
где R – радиус описанной окружности, n – количество сторон геометрической фигуры.
Для вписанной в полигон окружности соотношение немного изменяется и выглядит как:
a = r × 2 tg (pi/n),
где r – радиус вписанной окружности.
Таким образом, для определения площади любого правильного полигона вам понадобится указать количество сторон n и любой параметр на выбор:
- длина стороны a;
- радиус вписанной окружности r;
- радиус описанной окружности R.
Рассмотрим пару примеров для нахождения площади любого многоугольника.
Примеры из жизни
Пчелиные соты
Пчелиные соты - уникальный природный объект, который состоит из множества гексагональных призматических ячеек. Давайте подсчитаем, сколько таких шестиугольников находится в одних сотах. Для этого нам нужно узнать общую площадь и площадь одной ячейки. Из Википедии мы знаем, что стандартная рамка для сот имеет размеры 435 х 300 мм, соответственно, общая площадь составляет 130 500 квадратных миллиметров. Там же указано, что горизонтальный диаметр одной ячейки составляет примерно 5,5 мм. Горизонтальный диаметр полигона - это диаметр вписанной в него окружности, следовательно, мы знаем параметр r = 2,75 мм. Таким образом, при n = 6 площадь одной ячейки составляет:
Теперь мы можем узнать общее количество ячеек в одних сотах, которое выражается как 130500/26,19 = 4982
Снежинка
Снежинки имеют форму правильного треугольника или шестиугольника благодаря тому факту, что вода состоит из трех атомов и при переходе из одного агрегатного состояния в другое, молекулы воды соединяются с другими частицами и образуют треугольник или гексагон. Равносторонний треугольник - это такой же правильный полигон, как и другие, ведь он имеет три равных стороны и три равных угла. Соответственно, мы можем определить площадь такой снежинки, зная только длину стороны. Пусть сторона снежинки равна 8 условным единицам. Тогда для определения площади нам потребуется указать n = 3 и a = 8. Мы получим результат в виде:
Кроме площади абстрактной снежинки, наш калькулятор посчитал также радиусы вписанной и описанной окружности.
Заключение
Правильный полигон - это не только экзотический додекагон, но и квадрат или равносторонний треугольник, а значит, такую фигуру вы обязательно встретите не только в школьных задачах, но и в быту, на работе и в реальной повседневности. Используйте наш калькулятор для определения площадей любых правильных многоугольников.