Геометрическая прогрессия найти сумму первых. Геометрическая прогрессия на примерах. Сумма конечной геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями
q – знаменатель прогрессии
Другая версия уравнения
В общем случае, чтобы перейти от, в чем разница между двумя числами? Хотя приведенное выше уравнение относится к любой геометрической последовательности. Существует очень похожая версия, которую вы также часто увидите часто используемой, которая является формой «темпа роста» уравнения.
Потому что второе удобнее при работе с проблемами, связанными с экспоненциальным ростом или распадом или процентными ставками. Предположим, что геометрическая последовательность описывает 10% -ный шаблон роста. Почему общий коэффициент составляет 1, когда темп роста составляет 10% или 1? Распределительное свойство умножения по сравнению помогает объяснить это.
возрастающей , если b 1 > 0, q > 1,
Например, 1, 3, 9, 27, 81,....
Геометрическая последовательность является убывающей , если b 1 > 0, 0 < q < 1
Например,
b n = b 1 · q n-1
Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.
Начальное значение умножает 100 на 1. Умножение 100 на 1 приводит к росту. Добавление двух значений дает новое общее количество. Обратите внимание, что это согласуется с идеей о том, что умножение на число от 0 до 1 дает результат меньше начального значения, а умножение на число, большее 1, приведет к большему результату.
Таким образом, когда проблема дает вам «темп роста» или «скорость распада», если вы умножаете ставку на начальное значение, вы получите только сумму изменений. Это необходимо добавить или вычесть из начального значения для получения конечного значения.
b n 2 = b n-1 · b n+1
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна
Сумма n первых членов , бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
С другой стороны, если вы добавите 1 к скорости изменения, вы получите фактор, который приведет вас к окончательному значению в одном вычислении. В приведенном выше примере распределение 100 выше дает как начальное значение, так и количество роста, которое затем должно быть добавлено вместе. Однако умножение 100 на сумму двух чисел в круглых скобках дает результат с начальным значением и ростом, уже объединенным.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
Форма «темпа роста» уравнения для геометрической последовательности полезна всякий раз, когда проблема задается вопросом о «скорости». Ставка может оказаться положительной или отрицательной. Если вы сталкиваетесь с геометрической последовательностью, такой как.
Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:
|
Определение геометрической прогрессии |
b n +1 =b n · q, где b n ≠ 0, q ≠ 0 |
|
Знаменатель геометрической прогрессии |
|
| Формула n-го члена геометрической прогрессии | b n = b 1 · q n-1 |
| Сумма n первых членов геометрической прогрессии | |
| Характеристическое свойство геометрической прогрессии | b n 2 = b n-1 · b n+1 |
Пример 1.
Примеры некоторых классических задач
Поэтому темп роста в этой задаче должен быть отрицательным 20%, что подразумевает моделирование экспоненциального распада, а форма «скорости роста» уравнения. Эта форма уравнения позволяет быстро прочитать скорость роста или распада, не останавливаясь и не выясняя, «какая скорость распада дает общее соотношение 8».
Решение проблем геометрической последовательности
Сколько возможных «неизвестных» имеет любое уравнение для? Поэтому проблемы с геометрическими последовательностями обычно задают один из четырех вопросов. Какова стоимость первого срока? Учитывая значение, какой номер должен быть? Чтобы ответить на один из вышеуказанных вопросов, вы должны знать значения для трех «неизвестных» в приведенном выше уравнении. Большинство проблем с геометрической последовательностью можно решить путем.
Дана геометрическая прогрессия b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n , ... .
Известно, что b 1 = 2/3, q = - 3. Найти b 6
Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.
Подставив в эту формулу n = 6 получим:
b 6 = b 1 · q 5 = 2/3 · (-3) 5 = -162
Ответ -162.
Пример 2.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …
Некоторые проблемы будут немного сложнее, но вы все равно должны использовать информацию, предоставленную для определения значений для трех из четырех неизвестных. Обратите внимание, что проблемы, которые просят вас решить для номера термина, который находится в экспоненте, могут потребовать использования логарифмов во время процесса решения.
Приложения геометрических последовательностей в «реальной жизни»
Например, предположим, что единственной информацией, которую предоставляет проблема, является значение для 10-го и 15-го терминов. Геометрические последовательности можно рассматривать как экспоненциальные уравнения с их доменами, ограниченными целыми числами. Таким образом, они могут моделировать ситуации, которые связаны с постоянным темпом роста, но где единственные входы, которые имеют смысл, являются целыми числами.
b 1 = 12, b 2 = 4,
S = 12 / (1 - 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18
Пример 3.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.
Найти b 1 , если q = 1/3
150 = b 1 / (1- 1/3)
Или неопределено (например, для первого члена прогрессии), то разделите на любой член последовательности значение последующего члена прогрессии.
Так как ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должно возникнуть проблем.
Годовой размер населения, который растет с постоянной скоростью. Максимальная высота прыгающего мяча после каждого отскока. Уровни радиоактивности образца во времени. Рассмотрим геометрическую последовательность, описанную в начале этого сообщения. Серия, основанная на этой последовательности.
Тот факт, что геометрические последовательности основаны на умножении, создает полезный шаблон, который приводит к формуле, которую мы ищем. Теперь расположите это уравнение рядом с первым, так что мы готовы создать линейную комбинацию из двух для решения, как вы, надеюсь, сделали при решении. Выстраиваясь, как термины друг над другом, что вы замечаете?
Пример.
Пусть имеется последовательность чисел :
10, 30, 90, 270...
Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:
1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.
Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.
Итак, если мы приступим к решению этих двух уравнений как системы и вычтем одно из другого, то для решения получим. Что происходит, когда мы берем сумму бесконечного числа членов в последовательности? Давайте рассмотрим это, рассмотрев сначала арифметические последовательности. Таким образом, последний член в арифметической последовательности всегда будет приближаться к бесконечности, поскольку число термов приближается к бесконечности, за исключением случаев, когда общая разность равна нулю. Если последний член арифметической последовательности приближается к бесконечности или даже если он постоянный, то сумма всех этих членов должна приближаться к бесконечности.
Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.
Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:
Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.
Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.
Однако, когда абсолютное значение общего отношения составляет от -1 до 1, возникает особая ситуация. Что происходит, когда значение между нулем и одним повышается до мощности? Таким образом, сумма всех этих терминов может приблизиться и приблизиться к некоторому пределу, который будет представлять собой точную сумму бесконечного числа членов. Общий термин числовой последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Преобразование повторяющихся десятичных чисел в вульгарные фракции.
Арифметическая прогрессия. Любой член арифметической прогрессии. Найдите сумму первых 100 нечетных чисел. Геометрическая прогрессия. Любой член геометрической прогрессии рассчитывается по формуле. Сумма бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии рассчитывается по формуле. Эти определения помогают нам понять, что такое идея. Это последовательность, образованная последовательными элементами, полученными по сравнению с предыдущим элементом постоянным значением. Эта константа называется фактором или причиной.
Инструкция
Если известно два соседних члена геометрической прогрессии b(n+1) и b(n), чтобы получить знаменатель, надо число с большим индексом разделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Важным условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, иначе прогрессия считается неопределенной.
Обычная вещь состоит в том, что геометрическая прогрессия относится к последовательности, которая имеет конечное число членов. С другой стороны, если последовательность распространяется на нее, ее обычно называют геометрической последовательностью. В рамках указанной геометрической прогрессии мы должны показать, что существует интерполяция терминов. Это используется для определения того, что такое построение геометрической прогрессии, которая определяется тем, что ее концы дали числа.
Понятие геометрической прогрессии
Как можно вычислить эту интерполяцию? Точно так же мы не можем игнорировать, что другая серия математических операций может быть выполнена с любой геометрической прогрессией. В частности, можно перейти к сумме некоторого числа последовательных членов в любой такой прогрессии, а также даже если она уменьшается.
Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формуле b(n)=b1 q^(n-1) может быть вычислен любой член геометрической прогрессии, в которой известен знаменатель q и первый член b1. Также каждый из членов геометрической прогрессии по модулю равен среднему геометрическому своих соседних членов: |b(n)|=√, отсюда прогрессия и получила свое название .
Интересно знать в этом смысле, что сумма членов прогрессии равна последнему члену на отношение минус первый член, деленный на отношение меньше. Также возможно произвести произведение ряда терминов, равноудаленных от геометрической прогрессии. Важно иметь в виду, что постоянным фактором геометрической прогрессии может быть отрицательное число или даже дробное число.
Нужна помощь в учебе?
Наконец, если коэффициент равен 1, геометрическая прогрессия будет постоянной. Арифметические и геометрические прогрессии. Появляется определение. Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность действительных чисел следующим образом. Если четвертый член арифметической прогрессии равен 14, а девятый - 34, найдите первый член.
Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где аргумент x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y можно понимать n-й член прогрессии, если аргумент x принять за натуральное число n (счетчик).
Следует отметить, что в результате определения во всей геомерной прогрессии выполняется то, где находится термин, расположенный на последнем месте. Если в геометрической прогрессии восьмой член равен 32, а пятый член равен 4, найдите первые четыре члена.
Известно, что, следовательно, следующие два уравнения будут иметь. Сумма членов геометрической прогрессии. Если последовательность бесконечна, мы используем следующее представление. Выше мы имеем представление конечной геометрической прогрессии. В этом примере это значение равно 4, например, разделение второго на первый член равно 4. Таким образом, мы можем сказать это или еще.
Существует формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Данная формула справедлива при q≠1. Если q=1, то сумма первых n членов вычисляется формулой S(n)=n b1. Кстати, прогрессия будет называться возрастающей при q большем единицы и положительном b1. При знаменателе прогрессии, по модулю не превышающем единицы, прогрессия будет называться убывающей.
Постоянная геометрическая прогрессия
Эти примеры: а также. Геометрическая прогрессия постоянна, когда ее отношение равно 1 или когда первый член равен нулю.
Увеличение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия возрастает, когда следствие любого члена больше этого термина. Уменьшение геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия уменьшается, когда следствие любого члена меньше этого термина.Чередование или колебательная геометрическая прогрессия
Обратите внимание, что отношение вышеуказанных прогрессий составляет соответственно 3 и 0, 4. Третий член - результат умножения второго члена на отношение. По тем же соображениям, пятый срок будет. Поэтому, начиная с первого слагаемого, общая терминологическая формула геометрической прогрессии.
Частный случай геометрической прогрессии – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (б.у.г.п.). Дело в том, что члены убывающей геометрической прогрессии будут раз за разом уменьшаться, но никогда не достигнут нуля. Несмотря на это, можно найти сумму всех членов такой прогрессии. Она определяется формулой S=b1/(1-q). Общее количество членов n бесконечно.
Но что, если мы начнем с термина, отличного от первого? Приведем пример, чтобы объяснение стало легче понять. Теперь обратите пристальное внимание на следующее. Давайте посмотрим, что это рассуждение гораздо более практично, чем обращение к формуле, чтобы вернуться от 7 до 4.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Таким образом, мы получим тот же результат по формуле, чтобы подтвердить это объяснение. Умножая его по той причине, что мы имеем. Давайте посмотрим на второй член двух выражений. Обратите внимание, что второй член первого выражения равен первому члену второго выражения, то же самое происходит со вторым, третьим, четвертым, с последним членом второго члена первого выражения.
Чтобы наглядно представить, как можно сложить бесконечное количество чисел и не получить при этом бесконечность, испеките торт. Отрежьте половину этого торта . Затем отрежьте 1/2 от половины, и так далее. Кусочки, которые у вас будут получаться, являют собой не что иное, как члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Если сложить все эти кусочки, вы получите исходный торт.
Задачи по геометрии - это особая разновидность упражнений, требующая пространственного мышления. Если у вас не получается решить геометрическую задачу , попробуйте следовать нижеприведенным правилам.
Инструкция
Прочитайте очень внимательно условие задачи, если что-то не запомнили или не поняли, перечитайте еще раз.
Постарайтесь определить, к какому виду геометрических задач она относится , так, например: вычислительные, когда нужно узнать какую-нибудь величину, задачи на доказательство , требующие логической цепочки рассуждений, задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Еще